大学课件 高等数学 下学期 7-3（全微分及其应用）

1/27一、全微分的定义二、全微分存在的必要条件第三节全微分及其应用三、全微分存在的充分条件四、小结2/27函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时3/27先来介绍全增量的概念),(yxfz设二元函数,时、增量yx),(),(yxfyyxxfz的在点称为),(),(yxyxf为了引进全微分的定义,全增量.处分别有在点、当变量),(yxyx域内有定义,函数取得的增量全增量.一、全微分的定义的某邻在点),(yxP4/27全微分的定义的全增量在点如果函数),(),(yxyxfz),(oyBxAz,有关、仅与、其中yxBA,)()(22yxyBxA,yx、处),(yx处的全微分.可表示为),(yxfz可微分,在点),(yx则称函数称为函数记作,dz即.dyBxAz函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于),(),(yxfyyxxfz),(yxfz在5/27注yxz与是d.1之差是比与zzd.2全微分有类似一元函数微分的两个性质:的线性函数;高阶无穷小.全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.6/27二、全微分存在的必要条件)(oyBxAz由全微分的定义有可得z0lim0多元函数可微必连续连续的定义不连续的函数如果函数),(),(yxyxfz在点可微分,则函数在该点连续.)(lim0oyBxA一定是不可微的.定理1证.7/27.dyyzxxzz定理2(可微的必要条件)如果函数在点),(yxfz的则该函数在点),(yx可微分,),(yx,必存在且函数),(yxfz),(yx在点的全微分为yzxz、偏导数证.)(oyBxAz总成立,)(),(1PUyyxxP如果函数),(),(yxPyxfz在点可微分,8/27),()0,(yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim0xz同理可得.yzB时，当0y上式仍成立,此时|,|x.dyyzxxzz9/27如，.000),(222222yxyxyxxyyxf二元函数可微一定存在两个偏导数.但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得)0)0,0()0,0(yxff,)0,0(处有在点])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx处有在点)0,0(10/27则22)()(yxyx220)()(limxxxxxyx,21])0,0()0,0([yfxfzyx说明它不能随着0而趋于0,,0时当因此,.)0,0(处不可微函数在点如果考虑点),(1yxP沿直线xy趋近于),0,0(),(o0lim各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.说明11/27),(),(yxfyyxxfz)],(),([yyxfyyxxf证)],,(),([yxfyyxf在该点的某一邻域内必存在的意思.定理3的如果函数),(yxfz,),(连续在、yxyzxz.可微分(今后常这样理解).用微分中值定理(可微分的充分条件)假定偏导数在点P(x,y)连续,就含有偏导数),(yx则该函数在点偏导数三、全微分存在的充分条件12/27),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1)10(1xxyxfx1),(11),(),(.),(),(yxfyyxxfyxyxfxxx令连续在点由)0,0(01yx其中13/27xxyxfx1),(yyyxfy2),(zyx21,00故函数),(yxfz在点),(yx处可微.同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfyxyxfx),(x1yyxfy),(y221,0,02时当y]),(),([yyxfxyxfzyxyx2114/27记全微分为.dddyyzxxzz.ddddzzuyyuxxuu通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.一元函数的许多微分性质,(一阶)全微分形式的不变性.同样有:习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理．这里仍适用.),,,(zyxfu如三元函数则15/27解.,2xyyexxz,xyxeyzyyzxxzzyxyxddd2121例1.计算函数xyexz2在点)2,1(的全微分.所以.d)d1(222yexe16/27解.),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzyyzxxzzddd),4(),4(),4().74(82,,4),2cos(yxyxyz当求函数例2..d,4d时的全微分yx17/27解.例3.计算02.2)04.1(的近似值.),(yxfz设利用函数yxyxf),(在点),(00yx处的可微性,可得02.2)04.1()02.2,04.1(f)2,1(f02.0004.021.08.1,yx)2,1(04.0x02.0yzf)2,1()2,1(fzdyfxfyx)2,1()2,1(.dzz近似公式18/271、考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.若用“”QP表示可由性质P推出性质Q,则有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.练习题19/27下列处可微在点设二元函数,),(),(yxyxfz),(),,(),(),()(yxfyxfyxyxfByx处两个偏导数在点),(),,(),(),()(yxfyxfyxyxfDyx处两个偏导数在点连续.D结论不正确的是().都存在,,),(),()(处连续在点yxyxfA,),(),()(某邻域内有界在点yxyxfC2、20/27)0,0(),(0)0,0(),(),(222yxyxyxyxyxf设函数).()0,0(点在,)(极限不存在A,)(不连续B,)(可微分C.)0,0(),0,0(.存在yxffDD3、21/274、是非题,0)0,0(,0)0,0(,||),(yxffxyyxf则可得设函数.)0,0(),(的全微分是零在点从而yxf(非)事实上,由偏导数定义可求得设函数,||xyz在点)0,0(处有,0)0,0(,0)0,0(yxff])0,0()0,0([yfxfzyx||yxyx0lim22200)()()(limxxxxyx||2||lim0xxx02122/27全微分的定义全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别)四、小结可微分的必要条件、可微分的充分条件23/27对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可导连续有极限对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续可微连续有极限有偏导24/27在原点(0,0)可微.yzxz,并非必要条件.如0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0xxxx220)(1sin)(lim事实上,注两个偏导数在点连续可微的充分0),(yx仅是函数在点),(yx),(yxfz条件,25/27)0,0()0,0(fyxfz2222)()(1sin])()[(yxyx0lim))()((22yx0)0,0(yf0)0,0(xf201sinlimz00])0,0()0,0([yfxfyx于是,])0,0()0,0([yfxfzyx)(o同样,0)0,0(yf26/27即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.但是,事实上,2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx偏导数在原点(0,0)不连续.特别是),(lim0xxfxx不存在.即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.极限,时当xy)21cos121sin2(lim220xxxxxfy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,,022时当yx