大学课件 高等数学 下学期 7-6（方向导数与梯度）

1/22一、方向导数概念与计算公式二、梯度概念与计算第六节方向导数与梯度三、小结2/22xy1.方向导数的定义设有二元函数),,(yxfzlP沿任何方向的变化率．考虑函数在某点射线是指有方向的半直线,,lP发出的一条射线由点方向上取附近于在点lyxP),(),,(yyxxP一点.||PP记即,)()(22yx一、方向导数概念与计算公式xyOP3/22定义如果极限)()(limPfPfPP),(),(lim0yxfyyxxf存在,则将这个极限值称为函数在点,的方向导数沿方向lP记为,lf即),(),(lim0yxfyyxxflf方向导数是函数沿半直线方向的变化率.ylPxxyO注P4/22证.由于函数可微,),(),(yxfyyxxf得到2.关于方向导数的存在及计算公式定理.coscosyfxflf处在点设),(),(yxPyxfz,导数都存在的方向在该点沿任意指定方向l可微,则函数且.的夹角轴正向轴、与分别为方向、其中yxl则增量可表示为)(oyyfxxf两边同除以,5/22coscos),(),(yxfyyxxf故有方向导数),(),(lim0yxfyyxxf.coscosyfxflf),(),(yxfyyxxf)(oyyfxxf)(oyyfxxfylPxxyOP6/22注coscosyfxflf,cos,cos方向的方向余弦为其中l,的单位向量l即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.在定点),(000yxP的方向导数为(3).coscos000PPPyfxflf(4)关系方向导数存在偏导数存在可微.]0[的方向角是，、l7/22解.)1,1(lf由方向导数的计算公式知sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyx(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有沿与在点求函数)1,1(),(22yxyxyxf例1..的方向导数的射线方向轴方向夹角为与lxsin)1,1(cos)1,1(yxffsincos)4sin(2cos)1,1(cos)1,1(yxff8/22故sincos)4sin(2)1,1(lf)1(方向导数达到最大值;2)2(方向导数达到最小值;243当,47时方向导数等于.0,4时当,45时当)3(和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有9/22推广可得三元函数方向导数的计算公式同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,且有coscoscoszfyfxflf)cos,cos,(cos其中是l的方向向量.10/22定义记作jyfixf).,(adrgyxf即为函数G称向量梯度(gradient),),(adrgyxfyfxf,),(yxfz设函数),(yxP在点可偏导,),(yxfz处的在点),(yxP利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成coscosyfxflfcos,cos),(gradyxf二、梯度概念与计算11/22问题已知方向导数公式coscosyfxflflf方向一致时,Gl与当0方向导数取最大值||Gmax函数沿什么方向的方向导数为最大),(yxfz结论函数在某点的梯度是这样一个向量,方向与取得最大方向导数的方向一致,它的而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为22|),(grad|yfxfyxf12/22:),(adrg的方向从几何上看yxfjyfixf),(adrgyxfyfxf,xfyftan,不为零时当xfx轴到梯度的转角的正切为我们知道，下面看等高线的定义。13/22),(yxfz在几何上曲面被平面cz,),(czyxfz所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线等值线表示一个曲面,所截得如图:,Lcyxf),(xyO1),(cyxf2),(cyxfL等高线：14/22法线的斜率：xydd1yxff1,xyff考虑等值线cyxf),(上任一点处的),(yxP),(gradyxfxyO1),(cyxf2),(cyxfLP12cc所以梯度yfxf,为等值线上点P处的法向量.15/22.),,(gradkzfjyfixfzyxf类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数三元函数),,(zyxfu在空间区域G内则对于每一点,),,(GzyxP都可定义一个向量(梯度)具有一阶连续偏导数,16/22例2.设函数(1)求出.),(yxeyxfz沿什么方向具有最大的增长率,2,21)0,2(QPPf到处沿从在点方向的变化率.(2))0,2(Pf在点最大增长率为多少?解.(1).2,23,53cos,54cosPQ方向的方向向量为Pfgrad)0,2(lf.154,532,1.2,1,Pyyxeecos,cos)0,2(gradf17/22),(yxf处沿在点)0,2(P2,1)0,2(gradf方向具有最大的增长率,最大的增长率为:.5|)0,2(grad|f即为梯度方向.PlfmaxPf|grad|(2)18/22方向导数的概念梯度的概念方向导数与梯度的关系(注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的区别)(注意梯度是一个向量)梯度的方向就是函数),(yxf在这点增长最快的方向.三、小结19/22),(),(lim0yxfyyxxflfρ一定为正!xyxfyxxfxfx),(),(lim0是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数yyxfyyxfyfy),(),(lim0分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.l方向导数定义与偏导数定义的差别:总结20/22事实上,xyxfyxxfifx),(),(lim0),,(yxfx的方向导数存在,事实上,yyxfyyxfjfy),(),(lim0),,(yxfy),(yxf当函数轴正向沿在点函数xyxPyxf),(),(0,11e.xf且值为同理,轴正向沿在点函数yyxPyxf),(),(2e1,0的方向导数存在,.yf且值为yxffyxP,),(的偏导数在点存在时,21/22反之,if当存在时,xf不一定存在.yf,jf或例如,函数处在点)0,0(22yxz沿方向il的方向导数iflf,1lim0xxx但xf,||lim0xxx不存在.即z在(0,0)点的偏导数不存在.||00)(lim220||xxxxxx00)(lim220xzxx0lim