大学课件 高等数学 下学期 7-7（偏导数的几何应用）

1/27一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线第七节偏导数的几何应用三、小结2/27设空间曲线的方程)1()()()(tzztyytxx(1)式中的三个函数均可导.M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M1.空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面Oxyz3/27考察割线趋近于极限位置——xxx0ttt上式分母同除以,tMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxxyyy0zzz0切线的过程Oxyz4/27,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程)()()(000000tzzztyyytxxx切向量法平面0))(())(())((000000zztzyytyxxtx切线的方向向量称为曲线在点M处的切向量.过M点且与切线垂直的平面.MMOxyz)(),(),(000tztytxT5/27.0处的切线与法平面方程在t:求曲线ttuezttyuuex301cossin2dcos解.2,1,0zyx,costext,sincos2ttytez33,1)0(x,2)0(y3)0(z切线方程322110zyx法平面方程0)2(3)1(2zyx0832zyx例1.即,0时当t6/27设曲线直角坐标方程为,)()(100000xzzzxyyyxx.0))(())(()(100000zzxzyyxyxx法平面方程为2.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令)(),(xzzxyy)()(xzzxyyxx切线方程为x为参数,两个柱面的交线7/27例2.在抛物柱面与的交线上,求对应的点处的切向量.x为参数,于是,1x,12xyxz24212xz26xy21x解.22126xzxyxx所以交线上与21x对应点的切向量为:T.12,6,1交线的参数方程为取8/27设空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组两边分别对.)()(xzzxyy)()(xzzxyyxx,0))(),(,(0))(),(,(xzxyxGxzxyxF表示.)x求全导数:两个曲面的交线9/27xydd利用2.结果,0ddddxzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000xzzzxyyyxx0ddddxzFxyFFzyxxzdd10/27.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx切线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF在点M(x0,y0,z0)处的11/27解.的在点求曲线)2,3,1(80222222Pzyxzyx例3.切线方程和法平面方程.切线方程1x0dd2dd22xzzxyyx33dd0Pxy0dd0Pxz将所给方程的两边对x求导xzzxyyxdd2dd223y2z1330法一12/27法平面方程0)2(0)3(33)1(1zyx.0633yx法二02220222zdzydyxdxzdzydyxdx取全微分）处，在23,1(0P0432204322dzdydxdzdydx4,32,21n4,32,22n0,16,3164322432221kjinn即可。取0,1,3T13/27设曲线)(),(),(tzztyytxx证.)]()[(txXtx因原点)0,0,0(0)()()()()()(tztztytytxtx即0][于是)()()(222tztytx证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为)),(),(),((tztytx故有)]()[(tyYty)]()[(tzZtz0C)()()(222tztytx在法平面上,任取曲线上一点例4.14/27yxzO0),,(zyxF今在曲面Σ上任取一条1.设曲面Σ的方程为0),,(zyxF的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线),,(000zyxM,),,(000zyxM函数),,(zyxF的偏导数在该点连续且不同时为零.,0tt)(),(),(000tztytx且点M对应于参数不全为零.过点M的曲线Γ,设其参数方程为),(),(),(tzztyytxx15/27,)(),(),(000tztytxTyxzO0),,(zyxF),,(000zyxMT由于曲线Γ在曲面Σ上,所以,0)](),(),([tztytxF在恒等式两端对t求全导数,并令,0tt则得)(),,(0000txzyxFx若记向量,),,(),,,(),,,(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲线Γ在点M处切线的方向向量记为则※式可改写成,0Tn即向量Tn与垂直..0)(),,()(),,(00000000tzzyxFtyzyxFzy※n16/27因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的nyxzO0),,(zyxF),,(000zyxMn过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量n称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的n17/27曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量:切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx所以曲面Σ上在点M的,),,(),,,(),,,(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx18/27解.,3),,(33azxyzzyxF令切平面方程法线方程;0azx1010azayx),,0(,,aazyxFFFn223,0,3aa例5.处的切平面上点求曲面),,0(333aaazxyz).0(a和法线方程,3yzFx,3xzFy,332zxyFz∥1,0,1.ayazx0)(1)(0)0(1azayx19/272.曲面方程形为的情形),(yxfz曲面在M处的切平面方程为,0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令,xxfF.1zF,yyfF或,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx1,,yxffn显式方程20/27),(00yxffxx),(00yxffyy其中,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff或1,,yxff法向量,,若表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为nn1,,yxff注释1：关于21/27因为(第三个分量为负),求旋转抛物面在任意点P(x,y,z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).122yxz解.,1),(22yxyxf而pyxff1,,1,2,2yx.1,2,2yx为向下的法向量故向上的法向量应为:例6.22/27))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx的全微分在点函数),(),(00yxyxfz因为曲面在M处的切平面方程:全微分的几何意义,),(),(00的全微分在点yxyxfz表示处的在点曲面),,(),(000zyxyxfz切平面上的点的竖坐标的增量.切平面上点的竖坐标的增量注释2：23/27例7.0523zyxzyx8522222zyx证.85222),,(22zyxzyxF令过直线L的平面束方程为523zyx即05)1()2()3(zyx其法向量为1,2,3,4xFx2zF,4yFy0)(zyx求过直线L且与曲面相切之切平面方程.24/27设曲面与切平面的切点为),,,(000zyx则tyx2142430005)1()2()3(000zyx8522202020zyx,3,121tt因而7,321故所求切平面方程为523zyx0)(3zyx或523zyx0)(7zyx即526zyx或56510zyx25/27轴旋转一周绕由曲线yzyx0122322)2,3,0(解.12233222yzx令12323),,(222zyxzyxF)2,3,0(,,zyxFFF26,34,03,2,051)2,3,0(6,4,6zyx3,2,051n||0nnn得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为().旋转面方程为练习26/27空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线三、小结(空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的求法.当空间曲线方程为一般式时,求切向量可采用公式法、推导法或用向量代数法)(注意:空间曲面两种不同形式方程以及求法向量的方向余弦时的符号)