大学课件 高等数学 下学期 8-4(重积分的应用)

1/19曲面的面积重心转动惯量引力小结2/19实例　一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为R，问卫星距地面的高度h应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？一、曲面的面积卫星hoxz3/19１．设曲面的方程为：),(yxfz,Dxoy面上的投影区域为在,Dd设小区域,),(dyx点.)),(,,(的切平面上过为yxfyxMS.dsdAdAdsszd则有，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，d),(yxMdAxyzso4/19,面上的投影在为xoydAd,cosdAd,11cos22yxffdffdAyx221,122DyxdffA曲面S的面积元素曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz22)()(15/19３．设曲面的方程为：),(xzhy曲面面积公式为：.122dzdxAzxDxyzy２．设曲面的方程为：),(zygx曲面面积公式为：;122dydzAyzDzxyx同理可得6/19例1求球面2222azyx，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.由对称性知14AA,1D：axyx22曲面方程222yxaz,于是221yzxz,222yxaa解)0,(yx7/19面积dxdyzzADyx1221412224Ddxdyyxaacos0220142ardrrada.4222aa8/19例2求由曲面azyx22和222yxaz)0(a所围立体的表面积.解解方程组,22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周,222azayx在平面上的投影域为xy,:222ayxDxy得由)(122yxaz,2axzx,2ayzy9/19221yxzz22221ayax,441222yxaa知由222yxaz221yxzz,2dxdyyxaaSxyD222441故dxdyxyD2rdrraada022204122a).15526(62a10/19二、重心1．质点组的重心则该质点系的重心的坐标为,),(,),(),,(2211处nnyxyxyx质量分别为.,,,21nmmm11niiiniimxxm11niiiniimyym它们分别位于设xOy平面上有n个质点,11/192．物体的重心设物体占有空间域,有连续密度函数(,,),xyz在中任取一体积微元d，将d看成一质点，在d中任取一点M(x,y,z)，则物体的质量微元是d()dmM()()xMdxMd则其重心坐标为yyzzM12/19常数时,则得形心坐标,xdxd当物体是均匀的,,ydyd,zdzd(,,)xyz即当13/19例1求位于两圆2sin,4sin薄片的质心.xyO0,x解薄片关于y轴对称.则2221ddr4sin02sinsinrr之间的均匀DDydyd773314/19一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为若炉内储有高为h的均质钢液,不计由对称性知质心在z轴上，,0yx炉壁方程为9)3(222zzyxVzyxzVMzzddd故炉体的自重,求它的质心.例解222)3()(9zzyxzDhyxzddd0zyxVddd)41229(922hhhhzzz02d)3(9h222)3()(9zzyxzDOyxz15/19VzyxzVMzzdddzyxzMzddd)51233(923hhh225409043060hhhhhVMzz)41229(922hhhV质心为.5409043060,0,022hhhhh9)3(222zzyxddd0zhDzzxy16/19三、转动惯量1．质点组的转动惯量则该质点组关于x，y，z轴的222(,,),(,,),nnnxyzxyz处质量分别为.,,,21nmmm221()nxiiiiIyzm它们分别位于设有n个质点,111(,,)xyz转动惯量分别为：221()nyiiiiIxzm221()nziiiiIxym17/19设物体占有几何形体,(),M()xIuMd　　　　)(22zy则转动惯量为Oxyz)(22zx)(22yx有连续的密度函数2．物体的转动惯量()yIuMd　　　　()zIuMd　　　　如果几何形体位于xoy面，则z＝018/19abyxxIDydd2bbyaxxy0)1(02ddba3121)1(axby例解设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别求这三角形对任一直角边的转动惯量.为a、b,设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上(如图)yxO对y轴的转动惯量为yxyIDxdd2.1213ab对x轴的转动惯量为19/192rcos2dsindd22cos5202rrrz例6解设物体由曲面所围成其上各点的密度μ等于该点到zox面的距离的平方，试求该物体对z轴的转动惯量故两曲面的交线到xoy面的投影区域为：22()zIuxydv.8对z轴的转动惯量为222zxyzx和222zxyzx22(1)1xy22(1)1xy柱面坐标20/19四、物体对质点的引力利用元素法,在Ω内任取一体积微元dΩ，它的体积几何形体Ω的密度函数为μ(M),且在Ω上连续，对其外一点0000(,,)Mxyz处的质量为m的质点的引力.记为dV.在dΩ内任取一点M（x,y,z），则体积微元的质量为d()MuMdV0000(-)(-)(-)rMMxxiyyjzzk令0ddM把体积微元近似看成一个质点，则对的引21/19力微元为d3()MFGmdVrr||,.rrG其中为比例常数0M因此物体对质点的引力为3()GMmrFdVr.其中被积函数是一个向量函数22/1903()()xGMmxxFdVrF向量在三个坐标轴上的分量分别为：03()()yGMmyyFdVr03()()zGMmzzFdVr23/190yxFF求一匀质球体对位于球体外一由对称性知点处的单位质量质点的引力.例7解32222122211(-)[()]xyzdxdyGuzadzxyza24.3Gua引力为32222[()]zVzaFGudvxyza).,0,0(zFF截面法23212122100(-)[()]zrdrGuzadzdrza24/19四、小结物体的质心物体对质点的引力物理应用物体的转动惯量