大学课件 高等数学 下学期 9-2(第二型曲线积分)

1/28第二型曲线积分一、引例：变力做功问题二、第二型曲线积分的概念与性质三、第二型曲线积分的计算法四、两类曲线积分的关系2/28BAL:常力沿直线所作的功分割,0MAABFW),(yxFjyxQiyxP),(),(iiMM1jyixii)()(),,(111yxM,),,(111nnnyxMBMnOxyAB0M2M1nM1MnM1iML),(iiFixiyiM一、引例变力做功问题3/28求和niiiiiiiyQxP1]),(),([取极限niiiiiiiyQxP1]),(),([iWniiWW1iW取近似取),(iiFjQiPiiii),(),(iiiiMMF1),(iiiiiiyQxP),(),(即近似值精确值W0limiiMM1jyixii)()(),(iiFOxyAB0M2M1nM1MnM1iMLixiyiM4/281.定义设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑用L上的点:把L分成n个有向小弧段),,(111yxM),(111nnnyxM;,,2,1(1niMMii,,11iiiiiiyyyxxx设iiiiMM1),(为点).,0BMAMn曲线弧,在L上有界.),(),,(yxQyxP函数上任意取定的点.二、第二型曲线积分的概念和性质),,(222yxM5/28,0时iiniixP),(1如果当各小段长度的最大值的极限总存在,记作则称此极限为函数),(yxP在有向曲线弧L上或称第二型曲线积分.对坐标x的曲线积分,,d),(LxyxPLxyxPd),(即类似地定义LyyxQd),(称),(yxQ在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.iiniixP),(lim10iiniiyQ),(lim106/282.存在条件在光滑曲线弧L上3.组合形式LLyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(“点积”形式第二类曲线积分存在.连续,),(),,(yxQyxP当其中LsFd,,QPF.d,ddyxs7/284.物理意义WAB所作的功沿⌒⌒AByQxPdd⌒jyxQiyxPF),(),(变力sFWABd⌒)dd()(jyixjQiPAB.d,ddyxs8/285.推广iiiniixPxzyxP),,(limd),,(10zRyQxPddd空间有向曲线弧Γ,iiiniiyQyzyxQ),,(limd),,(10iiiniizRzzyxR),,(limd),,(109/286.性质,21LLL和分成如果把,是有向曲线弧设LyyxQxyxPd),(d),(LL1L2对坐标的曲线积分与(1)LyQxPdd则1ddLyQxP(2)方向相反的是与LL有向曲线弧,则yyxQxyxPd),(d),(2ddLyQxP曲线的方向有关.LLLLOxyOxy10/28对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、第二型曲线积分的计算思想是因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算.上限是终点的坐标.11/28,)()(tytxL的参数方程为定理上有定义且在曲线弧设LyxQyxP),(),,(单调地当参数t,时变到由运动到沿的起点从点LALyxM),(,B终点为端点的闭区间上具及在以)(),(tt,有一阶连续导数,d),(d),(存在曲线积分LyyxQxyxP][][QPLyyxQxyxPd),(d),(连续,则且,0)()(22tt且)(t),(tttd)(ttd)(),(t)(t12/28特殊情形)(:xyyL)(:yxxLLyyxQxyxPd),(d),(,ax起点为,cy起点为LyyxQxyxPd),(d),((1)(2)b终点为d终点为则xxyxyxQxyxPbad)}()](,[)](,[{yyyxQyxyyxPdcd]}),([)(]),([{则13/28,)()()(:tztytxzzyxRyzyxQxzyxPd),,(d),,(d),,((3)推广,起点t终点)()](),(),([{ttttP)()](),(),([ttttQtttttRd)}()](),(),([14/28例1).1,1(),0,1()0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy)0,1(A)1,1(B解.)1(的积分化为对x,10,:2变到从xxyL1022)22(dxxxxx原式1034dxx.115/28)0,1(A)1,1(B2yx.)2(的积分化为对y,10,:2变到从yyxL1042)22(dyyyyy原式1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式16/28,上在OA,10,0变到从xy1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上在AB,10,1变到从yx102)102(2dyydyxxydxAB.110原式.1)0,1(A)1,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.17/28其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为312111zyx,1tx1013d)146(tt解化成参数式方程为于是zyxyyxxd)1(dd计算例2,21tytz31,0t,1tA点对应B点对应zyxyyxxd)1(dd10d3)31(d2)21(d)1(tttttt18/28例3Lyxyxx,d)(d2计算(1)L是上半圆周反时针方向;,22xay)0,(aA)0,(aB解,costaxA点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.)0,(aA)0,(aB(1)中L的参数方程为,0t.tB点对应)0,(aA)0,(aB其中taysin原式=23232aaOxy)cos(dcos202tata)sin(d)cossin(tatata19/28Oxy(2)L的方程为原式=xxaad2.aax到从332a)0,(aA)0,(aB,0yLyxyxx,d)(d2计算(2)L是x轴上由点到点的线段.)0,(aA)0,(aB其中20/28例4轴正向成右手系。的交线，其方向与平面与是抛物面其中计算zzyxzydzzdydxyx34.2232。＝＋，得中消去在方程组31342222zyxzzyxz).20(3sincoszyx的参数方程为d]0cos3)sin(sin[cos3202原式＝202024cos3)sin1(sindd.80)sin(sin42064d解21/28例5向。轴正向看去成顺时针方正对着是圆周其中计算zzyzyxxyzdz,1.222).02:(sin21sin21coszyx的参数方程为d2022sincos221原式＝d202)2sin21(221＝.16224cos128102d＝解22/28补充在分析问题和算题时常用的L在上半平面部分与LxyxPd),(P(x,y)为P(x,y)为1d),(2LxyxP其中L1是曲线L的上半平面的部分.类似地,LyyxQd),(对称性质对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于下半平面部分的走向相反时,x轴对称,则0y的偶函数y的奇函数的讨论也有相应的结论.对23/28例6,1||ddABCDAxyyx计算直接化为定积分计算,ABxyyx1ddBCxyyx1ddDAxyyx1ddCDxyyx1dd取逆时针方向.,1||||yx解法一由曲线积分的性质.则BCCDDA1yx1yx1yx1yx)0,1(A)1,0(B)0,1(C)1,0(D其中ABCDA为011)1(ddxxxx0101)1(ddxxxx011)1(ddxxxx0ABCDA101)1(ddxxxx101)1(d2xxx101)1(d2xxx0tx101)1(ddxxxx101)1(ddxxxxOxyAB24/28将原式分成两部分,即ABCDAxyx1||dABCDAxyy1||dABCDAxyx1||d对曲线关于的走向与L在下半部分的走向相反,1yx1yx1yx1yx)0,1(A)1,0(B)0,1(C)1,0(D法二被积函数为ABCDAxyx1||d利用对称性质,L在上半部分x轴对称,y的偶函数.0原式Oxy25/28ABCDAxyy1||d对曲线关于L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为ABCDAxyy1||d01||ddABCDAxyyx所以,y轴对称,x的偶函数.0ABCDAxyx1||d01yx1yx1yx)0,1(A)1,0(B)0,1(C)1,0(D1yxOxy26/28LyyxQxyxPd),(d),(其中LlFd,),(),,(yxQyxPF.d,dddsldyxl是切线向量，轴的夹角。为切线向量与＝，则有的切线方向的单位向量为沿着记xL,sin,cos.sin,cosdsdsldLlFdLsQPd)sincos(四、两类曲线积分的关系LyQxPddLsQPd)coscos(27/28,,,),,(为处的切线向量的方向角上点zyxzRyQxPddddAl可用向量表示,,APQRcos,cos,cosddddd,,lsxyz有向曲线元dAs则sRQPd)coscoscos(推广空间曲线处的单位切向量上点),,(zyx28/28第一型曲线积分的概念第一型曲线积分的计算四、小结四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为定积分计算第一型曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质注意:第一型曲线积分的性质