大学课件 高等数学 下学期 9-3(1)(格林公式)

1/28第三节格林公式及其应用一、格林公式2/28DD1.区域连通性的分类设D为平面区域,复连通区域单连通区域一、格林公式否则称为则称D为平面复连通区域.成的部分都属于D,如果D内任一简单闭曲线所围单连通区域,3/28格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,LDyQxPyxyPxQdddd)()1(),(),(yxQyxP及函数在D上具有一阶连续偏导数,则有2.格林公式公式(1)称其中L是D的取正向的边界曲线.格林公式.4/28DLl当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;(2)曲线L是封闭的,并且取正向.注规定边界曲线L的正向区域D总在他的左边.xyODL5/28}),()(),{(21bxaxyxyxD}),()(),{(21dycyxyyxD(1)先对简单区域证明:证明若区域D既是型X又是型Y即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.xyOabdcD)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yx6/28D)(2yx)(1yxDyxxQdddcyyyQd)),((2CBEyyxQd),(同理可证LDxyxPyxyPd),(dddcyddcyyyQd)),((1LDyQxPyxyPxQdddd)(yyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyyxQd),()()(21xxQyyd)()(21CBECAEyyxQd),(LDyQxPyxyPxQdddd)(LyyxQd),(xyOdcABCE7/28DL(2)再对一般单连通区域证明:1L1D2D3DDyxyPxQdd)(积分区域的可加性若区域D由一条按段光(如图)将D分成三个既是型X又是型Y的区域,1DyxyPxQdd)(2L3L321DDD,2D.3D滑的闭曲线围成.8/28LyQxPdd),(32,1来说为正方向对DLLLDyxyPxQdd)(321dd)(DDDyxyPxQyxyPxQdd)(yxyPxQdd)(yQxPddyQxPddyxyPxQdd)(1D2D3DyQxPdd1L2L3LDL1L2L3L1D2D3D9/281L2L3L(3)对复连通区域证明:由(2)知DyxyPxQdd)(3L)0,0(CEECABBA若区域不止由一条闭曲线添加直线段,AB.CE则D的边界曲线由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及构成.LyQxPdd),(32,1来说为正方向对DLLL所围成.AB2LBAAFCCE)dd(yQxPECCGA{})dd(yQxP2L(3L1L)GFDCEAB10/28便于记忆形式:LDyQxPyxQPyxdddd格林公式的实质之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分LDyQxPyxyPxQdddd)(11/28Lxyyxdd(1)计算平面面积3.简单应用LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式LxyyxAdd21yx得Dyxdd2闭区域D的面积12/28Oxy例1求椭圆解由公式得tttabAd)sin(cos212202abD20,sin,costtbytax所围成的面积.LxyyxAdd2113/282.1(2)简化曲线积分的计算例2LyyyyxexyxeI,d)2(d3计算其中L为圆周xyx222解,yePyxexyQy23,yeyPyeyxQ33yyPxQ由格林公式有I对称性的正向.OxyyxyDdd3014/28对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,yPxQ当比较简单时,常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.(1)P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;(2)曲线L是封闭的,并且取正向.15/28例3计算,d)cos(d)sin(ymyexmyyexAOx.22axyx分析但由myeQxcosxQyP可知yPxQ非常简单.)0,(aA)0,0(Om,cosyexmyexcos,sinmyyePx其中AO是从点⌒的上半圆周到点此积分路径⌒AO不是闭曲线!Oxy(,0)Aa16/28Oxy为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.所以因而这里补加直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的由格林公式DyxmddymyexmyyexOAAOxd)cos(d)sin(281am解.OAaxy0,0OA的方程为ax0d0故0所以,I.812am0812amAOOAOA0dd(sin)(cos)xxOAeymyxeymy(,0)Aa17/280(3)简化二重积分则yPxQ解令,0P2yxeQ例4为顶点的三角形闭区域.Dyyxe,dd2计算是其中D)1,0(),1,1(),0,0(BAO以格林公式Dyyxedd2BOABOAyyxed2OAyyxed2AByyxed2BOyyxed22ye)1(211e10d2xxex00Oxy11ABD18/28解记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.例5Lyxxyyx,dd22计算令,22yxyP22yxxQ时，则当022yx有xQyP22222)(yxxy19/28LLyxxyyx22dd即L为不包围原点的任一闭曲线.即L为包围原点在内的任一闭曲线.由格林公式时，当D)0,0()1(时，当D)0,0()2(应用由格林公式,得LDyQxPyxyPxQdddd)(0yPxQ作位于D内圆周222:ryxl,1所围成和由记lLDDLxyOD1DrlxyO20/28Lyxxyyx22dd2022222dsincosrrrLyxxyyx22dd2注意格林公式的条件yxyPxQdd∴00lyxxyyx22ddsincosryrx1DyPxQlyxxyyx22dd222:ryxl其中l的方向取逆时针方向L1DrlxyO21/28练习计算.d)(d)3(LxyxyyxL是圆周:如把圆周写成参数方程:,cos31x再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.答案:18分析sin34y)20(则过程较麻烦.22(1)(4)9xy22/28格林公式LDyQxPyxyPxQdddd)(小结单(复)连通区域的概念格林公式的实质的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间注意使用条件