大学课件 高等数学 下学期 9-3(2)(曲线积分与路径的无关性)

1/31第三节曲线积分与路径的无关性一、第二型曲线积分与路径无关的条件二、势函数的概念及其求法2/31G1ddLyQxP2ddLyQxPB如果在区域G内有AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关.则称曲线积分LyQxPdd在G内与路径无关,xyO一、第二型曲线积分与路径无关的条件3/31CDCyQxP闭曲线,0dd)1(yQxPuyxUDddd),()3(使内存在在.,)4(xQyPD内在与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题等价.LyQxPD与路径无关内在dd)2(）（）（）（）（）循环证法：（143212.平面上曲线积分与路径无关的条件4/31xQyP若),(),(1100d),(d),(yxByxAyyxQxyxPxyxPxxd),(100),(01yxC),(11yxByyxQyyd),(100D(x0,y1)yyxQyyd),(101xyxPxxd),(101或),(),(1100d),(d),(yxByxAyyxQxyxP则Oxy),(00yxA5/31xyO解1523原式=yyxxxyxd)(d)2(422102dxxyyd)1(104xyxxxQ2)(42xxyxyyP2)2(2原积分与路径无关.例1Lyyxxxyx.d)(d)2(422计算为其中L.2sin)1,1()0,0(xyBO的曲线弧到点由点xQyP)0,0()1,1()1,1(B)0,1(6/31解,2)(2xyxyyyP)()]([xyxyxxQ,),(2xyyxP)(),(xyyxQxQyP积分与路径无关设曲线积分与路径无关,yxyxxyLd)(d2具有连续的导数,其中,0)0(且)1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy计算例2即xyxy2)(7/31xyO10d0x21(1,0)10dyyxyxy2)(由Cxx2)(0C知2)(xx)1,1(法一)1,1()0,0(2d)(dyxyxxy,0)0(由)1,1()0,0(22ddyyxxxy8/31xyO法二)1,1()1,1()0,0(2d)(dyxyxxy)1,0(10d0yy102d1xx01022x21)1,1()0,0(22ddyyxxxy9/31),()(在设函数xf内具有一阶连续导数,L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d).,d]1)([d)](1[1222yxyfyyxxxyfyyIL记(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当ab=cd时,求I的值.证)]}(1[1{2xyfyyyyP因为}]1)([{22xyfyyxxxQ)(1)(2xyfxyyxyf所以在上半平面内曲线积分I与路径L无关.(1)10/31badc解(2)由于曲线积分I与路径L无关,),(dc所以xbxfbbIcad)](1[12ycyfyycdbd]1)([22xbxbfbaccad)(bcdcycyfcdbd)(ttfttfbadccdbcbcabd)(d)(0xyO),(bc),(ba11/31考虑表达式如果存在一个函数yyxQxyxPd),(d),(),,(yxu使得),(dyxu则称yyxQxyxPd),(d),(并将的一个称为yyxQxyxPyxuud),(d),(),(yyxQxyxPd),(d),(全微分式,为一原函数.二、势函数的概念及其求法（二元函数的全微分求积）12/31物理概念给定平面的连续向量场yyxQxyxPd),(d),(),(yxu),(dyxuyyxQxyxPd),(d),(),(),,(yxQyxPA如果表达式是平面区域内某个二元函数的全微分，即则称向量场为有势场并称二元函数为有势场的势函数或位函数),(yxuA),(),,(yxQyxPA13/31由例,ddd2xxyyxxy.ddd2yyxxyyx可知:,dd2xxyyx2ddyyxxy都是分别是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d,ddyxxy原函数.全微分式.14/31xQyP求原函数判断全微分式),(),(00d),(d),(),(yxByxAyyxQxyxPyxu四个等价命题15/31例3问是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(求其一个原函数.如是,解在全平面成立.xQeyPy所以上式是全微分式.222yxexy因而一个原函数是：全平面为单连通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d)(),(),()0,0(yyxeyyd)2(0xxexd)(00法一16/31这个原函数也可用下法“分组”凑出:222dyxxey222),(yxexyxuyyyxexxeyyd)2(d)()dd(yxexeyy)(dyxe)d2d(yyxx222dyx),(yxu法二17/31因为函数u满足Pxexuy故yy2)(从而所以,Cyxxeyxuy222),(xxeuyd)(22xxey)(y由此得yxey2y的待定函数法三yu)(yxeyCyyyy2d2)(18/31小结与路径无关的四个等价命题势函数的概念及其求法第二型曲线积分与路径无关的条件