大学课件 高等数学 下学期 9-7(场论初步)

1/7第七节场论初步几类特殊的场2/7在物理学中，把分布着某种物理量的平面或者空间区域称为场。如果形成场的物理量是数量，就称为是数量场，例如温度场、密度场、电位场都是数量场；如果形成的物理量是向量，则称为是向量场，例如速度场、引力场都是向量场。散度和旋度是描述向量场特征的两个基本概念。上一节在介绍高斯公式和斯托克斯公式的物理意义时我们已经介绍过散度和旋度的概念。本节将介绍几类特殊的场3/7几类特殊的场1.无源场在向量场中，如果对于内任意一点，都有则称向量场为无源场))((MMAAM0)(MdivAA对于重力场有mgF,0,00)(00zmgdivF因此重力场是无源场4/72.无旋场在向量场中，如果对于内任意一点，都有则称向量场为无旋场))((MMAAM0)(MrotAA对于重力场有mgF,0,000,0,000mgzyxkjirotF因此重力场也是无旋场5/73.调和场如果向量场既是无源场又是无旋场，即对任一点，有则称向量场为调和场))((MMAAAM0)(MdivA重力场显然是调和场mgF,0,00)(MrotA6/74.有势场对于向量场，如果存在单值函数，使得则称向量场为有势场，称为的势函数))((MMAAA))((MMuuzuyuxuuA,,uA5.保守场对于向量场，如果曲线积分在内与路径无关，则称为保守场，其中为内任意两点))((MMAABAdlMA)(ABA,7/7下面的定理说明了无旋场、有势场与保守场是等价的定理：设为一维单连通域，其中在内一阶偏导数连续，则以下四个命题等价RQPA,,RQP,,1.是一个无旋场，即在内恒有yPxQxRzPzQyR,,A2.沿内任一简单闭曲线均有环量0RdzQdyPdxdlA3.是保守场，即在内曲线积分与路径无关ABAdlMA)(4.是有势场，即在内为某一函数的全微分ARdzQdyPdx