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第1页十九、“牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。例1:一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：20天内草生长量原有草量10头牛20天把草吃完………10天1×15×10＝原有草量＋10天内生长量5天1×?×5＝原有草量＋5天内生长量1头牛1天吃的草原有草量………10天内草生长量1头牛1天吃的草?头牛5天把草吃完20天1×10×20＝原有草量＋20天内生长量15头牛10天把草吃完………1头牛1天吃的草原有草量5天内草生长量（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50草每天的生长量为50÷（20－10）＝5原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝1005天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125第2页（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20-1×15×10＝50因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5（2）求原有草量原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5天内草总量5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125（4）求多少头牛5天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）答：需要25头牛5天可以把草吃完。例2:一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？第3页解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30（3）求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是3小时进水量原有水量12个人3小时淘完………10小时水量1×5×10＝原有水量＋10小时进水量?小时水量1×17×?＝原有水量＋?小时进水量每人每小时淘水量为1原有水量………10小时进水量每人每小时淘水量为117人几小时可以淘完？3小时水量1×12×3＝原有水量＋3小时进水量5人10小时淘完………每人每小时淘水量为1原有水量?小时进水量（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14每小时的进水量为14÷（10－3）＝2原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30………第4页30÷（17－2）＝2（小时）答：17人2小时可以淘完水。二十、鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）第5页【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。例1:长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只）也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）答：有鸡23只，有兔12只。例2:2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？共有94只脚假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）假设35只全为兔脚有4×35=140只脚鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）140－94=46只脚第6页解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）答：白菜地有10亩。例3:李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日记本数＝45－15＝30（本）答：作业本有15本，日记本有30本。69元假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）假设45本全都是日记本0.70×45=31.5作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）69－0.70×45=37.5作业本每本比日记本多（3.20－0.70）元共施肥9千克假设16亩全都是菠菜施肥1÷2×16=8千克白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）9－1÷2×16=1每亩白菜比每亩菠菜多施肥（3÷5－1÷2）千克第7页例4:（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？解假设100只全都是鸡，则有兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）鸡数＝100－20＝80（只）答：有鸡80只，有兔20只。例5:有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？解假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚100－75＝25（人）假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）比实际多吃（3×100－100）个100个馍一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个80只脚假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设100只全都是鸡，则2×100=200只脚兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）同样数量的鸡兔脚200－80=120只第8页答：共有大和尚25人，有小和尚75人。二十一、方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝（实心人数）－（内空人数）内空人数＝（外边人数－层数×2）×（外边人数－层数×2）（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例1:在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？第9页解22×22＝484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。例2:有一个3层中空方阵，最外一边一层有10人，求全方阵的人数。解10×10－（10－3×2）×（10－3×2）＝84（人）答：全方阵84人。例3:有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？10人空心方阵：总人数＝（实心人数）－（内空人数）最里层人数（10－3×2）×（10－3×2）（人）（人）每一层每边人数少2人，最里层少3×2人最里层每边人数10－3×2如果是实心方阵人数10×10＝100（人）3层22人实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数22人22×22＝484（人）第10页解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）答：这队学生共160人。例4：一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？＋1空心方阵：总人数＝（实心人数）－（内空人数）52÷4－128÷4中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）第11页解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。例5：有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？解第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：这个三角形树林一共有15棵树。每边人数＝四周人数÷4＋15×5第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）＋1第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）每边人数＝四周人数÷4＋1纵横增加一层少9只棋子排列成正方形纵横2边方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）多余4棋子纵横2边增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）