第一章-张量分析初步

第一章张量分析初步第一章张量分析初步本章学习目的引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概念及运算做准备。是本门课的数学基础。已学习过的物理量标量？向量？有了标量和向量是否足够描述自然现象？333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa如何用一个最简单的式子来表示？1?2用矩阵？还有更简单的表示方法吗?可总结为：aij,xj,bi是些什么量？ijijbxa§1.1指标记号及两个特殊符号指标记号空间有个坐标系OXYZ，P(x,y,z)是其中的一点，坐标为：x,y,z直角坐标系中的基向量：并两两正交——垂直坐标轴代号x,y,z可否用别的符号进行代换呢？用xx1,yx2,zx3则P(x,y,z)P(x1,x2,x3)基向量同样可以做如下代换：OyxzP(x,y,z)321,,ekejeiX2X1OX3P(x1,x2,x3)再对上述代换结果进行简写P点改写为：P(x1,x2,x3)P(xi,i=1,2,3)P(xi)基向量：ei,i=1,2,3ei则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值范围，使用上述指标简写表达式的方式称为指标记号。注意：指标记号只是一种人为规定的简写方式，是一种约定俗成，如同结绳记事，并不是什么高深的东西。向量的指标记号原直角坐标系下的向量在新直角坐标系中可表示为kzjyixpo332211exexexpo书写成求和的方式：为了不每次都书写求和符号，简化书写做如下约定：如果在数学表达式内的任一项中，有某个指标重复出现一次(出现两次)，就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对对应项进行求和。如果重复出现多于一次(出现两次以上)，因为没有进行定义，所以没有意义，！则向量OP在新坐标系内可写为31iiiexpo3,2,1,iexpoii3,2,1,iexpoii提示:求和约定同样是人为规定，就像“+”两边的数要相加一样，仅仅是因为创造此记号法的人这么规定而已，没有什么神秘的地方！谁创造了求和约定?Einstein(爱因斯坦)则前述方程组也可用求和约定进行表达上式中i和j有何不同?在每一项中i只出现了1次，j出现了2次，表示求和的只有j指标。i？j？333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa3,2,1,,jibxaijij哑批标：在同一项中重复出现一次(即出现两次)、从而对其应用求和约定的指标称为哑指标。如上式中的j指标。自由指标：同一项中不重复出现(即只出现一次)，因而不约定求和的指标称为自由指标。如上式中的i指标。可否将上式表示成如下形式？指标记号的特点：a)哑指标只是表示约定求和，与用什么字母表示无关；kjijbxajjijbxa3,2,1,,jibxAijij3,2,1,,mibxAimimb)在同一表达式中，每一项必须出现相同的自由指标；c)自由指标的个数决定简写方程代表的实际方程的个数，可用3n次方来求代表的方程数；此时n为自由指标的个数；d)哑指标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数，可用3n次方来求代表的方程数；此时n为哑指标的个数；如果研究的问题是二维问题，而不是三维问题，如何使用指标记号？kjicbaijicbajjicbaP(x,y)P(x1,x2)P(x,=1,2)向量OP表示为：OP=x1e1+x2e2求和表示为：每次还要书写取值范围，太烦！对取值范围进行约定：用拉丁字母(i,j,k等)书写的指标其取值范围是1,2,3；用希腊字母(,b等)书写的指标其取值范围是1,2。2,1,2,1,21exPOexPOiiexpoijijbxAexpoOP用希腊字母表示的自由指标的个数决定简写方程代表的实际方程的个数，可用2n次方来求代表的方程数；用希腊字母表示的哑指标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数，可用2n次方来求代表的项数；例题1.Qii,S展开？步骤：分析i,指标类型？字母类型？再展开2.写出a=Aijbicj的展开式。3.写出的展开式。4.写出的展开式。5.?写出的展开式。6.?写出的展开式。jjiintijjkikbb)(21ijjiijxuxueijijew21两个特殊符号两个特殊符号为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书写。kronecker符号定义如何理解kronecker符号jijiij0101322331132112332211阶的单位矩阵表示的是一个3ij100010001ijKronecker符号的特点：a)Kronecker具有对称性.b)Kronecker可表示为基向量的点乘.c)d)如何证明?两种方式:将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；只有当i=j时ij才不等于“0”，∴e)证明同上。f)jiijjiijee3332211iiiijjaaiiiiiiijjaaa)(不求和ijkikjikkjAAAijkjik排列符号定义：如何理解：数字排列沿顺时针方向旋转取1；数字排列沿逆时针方向旋转取-1；中任两取值相同时当的奇排列时为当的偶排列时为当kjikjikjieijk,,,3,2,1,,,3,2,1,,,0111312231123eee1213321132eee123eijk不同排列次序间的关系只要旋转的方向相同则取值符号相同，否则取值符号相反，任两个字母取值相同则取“0”值！排列符号的几点重要结论：kjiikjjikkijjkiijkeeeeeeijkkijkjieeeekijkjikeebaba)(kmjnknjmimnijkeeknijnijkee26ijkijkee证明见例题eijk与ij间的关系kijkjieeee:由排列符号的性质ijkkjieeee.,,.,列式形式表示成其三个棱的行平行六面体的体积可以由矢量分析知另外体的体积其物理意义是单位立方表示的是混合积由于kjieeeijkkkkjjjiiikjieeee321321321),,(),,(),,(321321321kkkkjjjjiiiieeeei,ej,ek为3个单位基向量，i,j,k互不相等。例题;.6;.5;,.4;,?.3;1:,.2;,,,,.122kmjnknjmimnijkiiiiijjiieebaexddsdxdxdsnnnababaebbeaa证明的叉积和求向量间的叉积量试用排列符号表达基向右手坐标系中的长度为直角坐标系中向量其中证明证明为单位向量设求设向量例6证明333231232221131211)det(:AAAAAAAAAAst方法一132231331221233211231231133221332211AAAAAAAAAAAAAAAAAArqppqrrqppqrAAAeAAAe321321:,)(,行列式变号列行交换其中任意两对于三阶行列式来说321321321)det(kkkjjjiiistijkAAAAAAAAAAenmlnmlnmlstlmnAAAAAAAAAAe333222111)det(通过观察,6项求和，3项为正3项为负。是否和排列符号有关？132231321331221213233211132231231312133221231332211123AAAeAAAeAAAeAAAeAAAeAAAeknkmkljnjmjlinimilstlmnijkAAAAAAAAAAee)det(1)det(,stststA时当取knkmkljnjmjlinimillmnijkeeknjlimkljnimkljminkmjlinkmjnilknjmillmnijkeekmjnknjmknjiimkijnimkijminkmjiinkmjniiknjmiiimnijkeeknkjjnknjjijnijkee262kkijkijkee321321321:nnnmmmiiiimne由方法二321321321nnnmmmiiiijkimnijkeeenknjnimkmjmiikijiiimnijkee0)3(;2)2(;3)1(:.8;)()(:,,,?.7jiijkijljkikljiijiiiiiiaaeeecbabcacbaeccebbeaa简捷证明证明如果§1.2坐标变换什么是坐标变换空间中同一个点在不同直角坐标系内的坐标值是不同的，这些坐标值之间的变换关系就是坐标变换。如下图，在ox1x2x3和ox‘1x’2x‘3两个坐标系中，P点的坐标取值是不同的。坐标变换类型：坐标旋转、坐标平移、坐标反射等；本门课中只讨论坐标旋转。坐标变换在本专业的一般应用：三维地震勘探施工设计；数字图像处理、三维可视化技术；张量计算等；二维坐标变换公式推导空间一点P，向径为dx,长度为ds在ox1x2坐标系内坐标为(x1,x2);在坐标为;求两坐标间的关系?21xxo),(21xxbopx1设bcos*:1sdx则bsin*2dsx)cos(*1bsdx)sin(*2bsdxbbbbsinsin*coscos*)sinsincos(cos*1dsdsdsxsincos21xxbbcossinsincos*cossin*21xxdsds2121cossinsincosxxxx2121cossinsincosxxxxbbcossinsincos设:则bbbxxbbbxx对于三维坐标系，有：jijixxbjjiixxb二坐标变换系数bij的含义:,321321即轴间的夹角余弦轴与表示则位基向量分别对应两坐标系的单系和坐标旋转后的新坐标旧坐标系，oxxo，e、exxxoxxoxjiijiib),cos(jijiijeeeeb),cos(ijijjieeeeb如图有如果给定了bij，就确定了直角坐标系的一个旋转变换，则称bij为坐标系变换系数。bij中每一行是所对应的新坐标轴单位基向量在旧坐标系中的分量；bij每一列是所对应的旧坐标轴单位基向量在新坐标系中的分量。坐标变换系数的性质由坐标变换系数的定义知：jijieebjjiieebijjkikbb)1(kikieebljljeeb)()(ljlkikjiijeeeebbjkikkljliklkjlikeebbbbbbijkjkibb)2(kkiieeblljjeeblkljkijieeeebbklljkiijbbkjkiijbb?jiijbb1)det()3(333231232221131211bbbbbbbbbbij由