高等数学函数的单调性和凹凸性

函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸与拐点主要内容：.I)(,)()(,I2121上是单调增加的在区间则称恒有上任意两点对于区间xfxfxfxx.I)(,)()(,I2121上是单调减少的在区间则称恒有上任意两点对于区间xfxfxfxx一、函数单调性的判定法xxyy单调上升,90单调下降,90oo)(xfy0)(xf0)(xfabab)(xfy从导数的几何意义考察函数的单调性：xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA定理1.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(],[)(上单调减少在则上单调增加在则内若在内可导上连续，在在如果baxfxfbaxfxfbababaxf严格单调,,],[,.2121xxbaxx且证:],[中值定理得上应用在Lagrange21xx)()()()()(211212xxxxfxfxf,)(,)(),(00fxfba内如果在.],[)(,)()(上单调增加在则baxfyxfxf012,)(,)(),(00fxfba内如果在.],[)(,)()(上单调减少在则baxfyxfxf012(2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.例如,,3xy,00xy.),(上严格单调增加但在注意:(1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论仍然成立；例1.解.1e的单调性讨论函数xyx,0时当x,0)(xf;]0,(内单调递减函数在所以注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用),,(:D函数的定义域,0时当x,0)(xf;),0[内单调递增函数在所以一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.导数在这一区间上的符号来判定,而不能用令,0)(xf得0x],0,(),0[把分成两个区间),(yxo例2.32xy,0时当x,0)(xf;函数单调递减所以,0时当x,0)(xf;函数单调递增所以.)(32的单调区间确定函数xxf解:),,(:D函数的定义域单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.说明:把函数的定义域区间分成若干个区间，总结求单调区间的步骤1．写出函数的定义域，并求出函数的导数2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)3．以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12练习.)1()(32的单调区间确定xxxf的零点为325)(3xxxf).,(fD的单调性列表如下：的符号与将ffx(-,0)0(0,2/5)2/5(2/5,+)f+不存在-0+f连续连续上单调增。上单调减；在上单调增；在在),52[]52[0,0],(f解5/21。不存在的点为，052例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx,)1ln()(xxxf设,01)(),0(),0[)(xxxfxf上可导且在上连续、在上单调增；在),0[)(xf,0)0(f又时，当0x,0)1ln()(xxxf).1ln(xx即注利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。练习.证明时,成立不等式证:令,2sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0从而因此且二、曲线的凹凸与拐点ABCDExyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方。xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方。问题:如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?定义1设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.yox2x1x221xxyox1x221xx2x18曲线凹凸的判定xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理2.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:2)()()2(2121xfxfxxf设函数在区间I上有二阶导数只证(2)由定义只须证：)()()2()2(212121xfxfxxfxxf只须证：)2()()()2(212121xxfxfxfxxf只须证：)()()()(0210xfxfxfxf只须证：定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:2)()()2(2121xfxfxxf设函数在区间I上有二阶导数只证(2)由定义只须证：)()()()(0210xfxfxfxf只须证：分别在区间上应用拉格朗日中值定理得],,[01xx],[20xx2)())(()()(12110110xxfxxfxfxf2)())(()()(12202202xxfxxfxfxf011xx220xx这说明在I内单调递减.)()(21ff21例5判断曲线xyln的凹凸性.解,1xy.12xy,0y在定义域内4xy故曲线),0(在上是凸的.),0(ln的定义域为函数xy22例6.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；曲线在]0,(时，当0x,0y.),0[为凹的在曲线.)0,0(改变是曲线的凹凸性发生了在点注意到,定义2若连续曲线在其上一点的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线的拐点.)(xfy))(,(00xfx)(xfyxyoy=f(x)0x注：拐点是凹弧与凸弧的分界点定理3如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf.证,)(二阶可导xf,)(存在且连续xf,])([)(0两边变号在则xxfxf,))(,(00是拐点又xfx,)(0取得极值在xxf,由费马引理知.0)(xf.)())(,(,)()2(000的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfyxfxxf注意:.)())(,(0)()1(000的拐点连续曲线不一定是的点满足xfyxfxxf例如,例如,4xyyxoyxo1．写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数2．求出二阶导函数的零点、和不存在的点3．检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性改变凹凸性的点只可能是二阶导数为零及二阶导数不存在的点.注意判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：)(3632xx例7.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32yxy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32)1,0(),(271132例8讨论的凹凸性及拐点.解：32)1(xxy,32353132xxyxyo·51521343192910xxy,9)15(234xx10;05yxxy令解得当时,不存在.现列表如下：x0－0＋不存在＋y凸拐点凹非拐点凹)(xy)51,(51)0,51(),0()25156,51(3曲线的凹凸性反映的是不等式关系：(1)若曲线的图形是凹的（即），则有0)(xf(2)若曲线的图形是凸的（即），则有0)(xf注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。例9.)2()(21100yxyxyxyx有，及，、对试证：解,)(ttf令,)1()(2ttf则,0)(0tft时有在0。是凹的时在ft有且、对,)(0,yxyx,)2())()((21yxfyfxf证毕。即所证不等式成立。31证明不等式).0,0(2ln)(lnln证明,)(ln)(0zzzzf令,ln)(1zzf),0(01)(zzzf.)(是凹函数因此zf)).()((21)2(fff从而,2ln2)lnln(21即.2ln)(lnln故有例102.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+–拐点—连续曲线上凹凸弧的分界点小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上单调递增Ixxf,0)(在I上单调递减思考题若0)0(f，是否能断定)(xf在原点的充分小的邻域内单调递增？思考题解答不能断定.例0,00,1sin2)(2xxxxxxf)0(f)1sin21(lim0xxx01但0,1cos21sin41)(xxxxxf)212(1kx当时，0)212(41)(kxfkx21当时，01)(xf注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．k00x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075