量纲分析法建模

量纲分析法建模量纲分析（DimensionalAnalysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。一、量纲齐次原则长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲221rmmkf加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=LMT-2引力常数k的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动)1(321glmt321][][][][glmtlmgm求摆动周期t的表达式设物理量t,m,l,g之间有关系式1,2,3为待定系数，为无量纲量2/12/10321glt(1)的量纲表达式glt2对比33212TLMT12003321对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)2121pppp为什么假设这种形式321glmt设p=f(x,y,z)),,(),,(),,(),,(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍zyxzyxf),,(p=f(x,y,z)的形式为),,(),,,(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中t,m,l,g的一般表达式0),,,(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy)1,1,0,2(),,,(4321基本解4321yyyyglmty1~y4为待定常数,为无量纲量0)(F设f(q1,q2,,qm)=0mjXqniaijij,,2,1,][1ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn(nm)是基本量纲,q1,q2,,qm的量纲可表为,}{mnijaA量纲矩阵记作rArank若线性齐次方程组0Ay有m-r个基本解，记作mjyjssjq1为m-r个相互独立的无量纲量,且则113121()001001()200102()()()()()()()LAMTglvsf[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力fmjXqniaijij,,2,1,][1航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。mnijaA}{m=6,n=30),,,,,(fsvlg0),,,(21mqqqfTTTyyy)1,0,0()0,1,0()0,0,1(321flgslvlg13132221211,1,3,1,0,2,0,0,2/1,2/1Ay=0有6-3=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rmjyjssjq1m-r个无量纲量0),,,(21mqqqf0),,,,,(fsvlgF(1,2,3)=0与(g,l,,v,s,f)=0等价flgslvlg13132221211为得到阻力f的显式表达式F=0),(213未定mjyjssjq1F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价221213,),,(lsglvglf量纲分析法的评注•物理量的选取•基本量纲的选取•基本解的构造•结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解•方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识二、量纲分析在物理模拟中的应用例:航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf,,,,,~模型船的参数(均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力221213,),(lsglvglf111111,,,,,gvlsf~原型船的参数(f1未知，其他已知)注意：二者的相同2211,1ggllvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1按一定尺寸比例造模型船，量测f，可算出f1~物理模拟221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf三、案例－原子弹爆炸的能量估计1、问题的提出1945年7月16日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有多大。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。那么，Taylor是如何对原子弹爆炸的能量进行估计的呢？Taylor认为，爆炸的能量与爆炸形成的“蘑菇云”半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”半径见下表。表1时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)tr(t)tr(t)tr(t)tr(t)tr(t)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.02、建立数学模型Taylor建立计算爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分析法。记爆炸能量为E，将“蘑菇云”半径近似看成一个球形。除时刻t和能量E外，与“蘑菇云”半径r有关的物理量还可能有“蘑菇云”周围的空气密度（记为）和大气压强P，将要寻求的关系为：)1(),,,(pEtr记作更一般的形式)2(0),,,,(pEtrf21322][,][,][,][,][MTLPMLMTLETtLr20210111001320153A取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2）中各个物理量的量纲分别是由此得到量纲矩阵为齐次方程Ay=0的基本解为TTyy)1,5/3,5/2,5/6,0()0,5/1,5/1,5/2,1(根据量纲分析的Bucking-hamPi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量2/51/51/51/512656/52/53/51/5223()()rtErtEtPrEPE（3）（4）1212且存在某个函数F使得F(,)=0与（2）等价。取（5）的特殊形式=()，由（3）（4）有（5）651/51/52232651/51/523()()()()tPrtEEtEtPrE＝于是＝（6）3、数值计算为了利用表1中t和r的数据由（6）确定原子弹爆炸的能量E，必先估计的大小。2（）651/5223()01tPTaylorE认为，，建议（0）21/5()tEr由（6）有＝（7）P上式表明，半径与大气压强无关，而当E，一定时2/5rt与成正比。现检验这个关系，设brat（8）其中是待定系数，对（8）取对数后用线性最小二乘拟合，根据表1中t和r的数据得到,ab0.4052b2量纲分析得到的结果一致5101010,51logloglog()(9)22Ert3为了由（7）和表1的数据估计E，Taylor对（7）两边取对数作线性最小二乘拟合，取＝1.25kg/m有xc10101051,log,log,log()(10)22Eycyrxxtc6.9038c138.027610cE由和容易算出焦耳1214.18410千吨TNT的核子能量＝焦耳原子弹爆炸的能量是19.1863千吨原子弹爆炸能量的实际值21千吨