第7章-两道滤波器组

第7章两通道滤波器组本本本章章章首首首先先先讨讨讨论论论图图图777...111...111中中中各各各信信信号号号间间间的的的一一一般般般关关关系系系，，，然然然后后后讨讨讨论论论实实实现现现准准准确确确重重重建建建的的的途途途径径径。。。也也也即即即，，，如如如何何何确确确定定定)(0zH,,,)(1zH,,,)(0zG和和和)(1zG才才才能能能去去去除除除混混混叠叠叠失失失真真真，，，幅幅幅度度度失失失真真真及及及相相相位位位失失失真真真，，，即即即PPPRRR。。。以以以下下下结结结论论论设设设用用用于于于FFFIIIRRR///IIIIIIRRR系系系统统统：：：)()(zHzF，则()()()jjFeHe，()(1)()nfnhn（7.2.17a）1()()FzHz，则*()()jjFeHe（实系数），()()fnhn（7.2.17b）1()()FzHz，则*()()()jjFeHe（实系数），()(1)()nfnhn（7.2.17c）(1)1()()NFzzHz，则(1)*()()()jjNjFeeHe（实系数），1()(1)(1)NnfnhNn（7.2.17d）7.1两通道滤波器组中各信号的关系图7.1.1两通道滤波器组经推导得到：)()()()()()()()(21)(ˆ110010zXzXzHzHzHzHzGzGzX（7.1.4）)(zX是是是混混混叠叠叠分分分量量量（（（由由由抽抽抽取取取和和和插插插值值值引引引起起起的的的）））。↓2H0(z)↑2G0(z)H1(z)↓2↑2G1(z))(zX)(0zX)(1zX)(0zV)(1zV)(0zU)(1zU)(ˆzX由此得：两通道滤波器组的调制性表示：定义)]()()()([21)()]()()()([21)(1100111000zGzHzGzHzFzGzHzGzHzF※(7.1.5)※则)()()()()(ˆ10zXzFzXzFzX(7.1.6)若0)(1zF，则可有效的去除混叠失真，这样：)()]()()()([21)()()(ˆ11000zXzGzHzGzHzXzFzX※(7.1.7)※)(0zF反反反应应应了了了去去去除除除混混混叠叠叠失失失真真真后后后的的的两两两通通通道道道滤滤滤波波波器器器组组组的的的总总总的的的传传传输输输特特特性性性。。。系系系统统统的的的幅幅幅度度度失失失真真真及及及相相相位位位失失失真真真均均均与与与)(0zF有有有关关关，，，因因因此此此)(0zF又又又称称称“““失失失真真真传传传递递递函函函数数数（（（dddiiissstttooorrrtttiiiooonnntttrrraaannnsssfffeeerrrfffuuunnnccctttiiiooonnn）））”””。。。7.2准确重建的充要条件和)(0zG和)(1zG的选择定义：)()()(10zHzHzP……(7.2.3a)则)()()(10zHzHzP……(7.2.3b)再定义mHzPzPzTdet)()()(……（7.2.4）)(zP可以刻划)()()(zPzPzT的内部结构。A)首先，我们先深入的讨论一下)(0zG和和和)(1zG的的的一一一般般般选选选取取取原原原则则则：由(7.1.4)式可得：H0(z)H1(-z)G0(z)G1(z)H0(-z)H1(z))(21zX)(21zX)(ˆzX)()()()()()()()()()(21)(ˆ)(ˆ11001010zXzXzHzHzHzHzGzGzGzGzXzX……(7.2.7)令)()()()(1010zGzGzGzGmG，)()()()(1010zHzHzHzHmHTzXzX)(ˆ)(ˆˆX，TzXzX)()(X则XHGXTmm21ˆ……（7.2.10）mH又称“混迭分量（AC）”矩阵。Xˆ对X准确重建的【充要条件1】：其中含有)(0zH,,,)(1zH,,,)(0zG和)(1zGkkTmmzz)(0021HG(7.2.11)经推导得到【充要条件2】：同样，其中含有)(0zH,,,)(1zH,,,)(0zG和)(1zG)()(det2)()()(det2)(0110zHzTHczzGzHzTHczzGmkmk（7.2.14）其中，mHzPzPzTdet)()()(，也称为“失真函数”可见，在两通道滤波器组中，)(0zG、)(1zG选取是独立于)(0zH及)(1zH的，也即，对于给定的0H和1H，只要按（7.2.14）式选定)(0zG和)(1zG，即可实现PR。分析该式，我们发现：1．取)(0zH和)(1zH是FIR的，则)(zT是FIR的，但由于)(zT出现在(7.2.14)式的分母上，那么)(0zG和)(1zG将变成IIR的，这是在应用中所不希望的；2．保证)(0zG和)(1zG是FIR的，唯一可能而又“方便”（就用c,不用c’）的做法是令lkczzT2)(，（7.2.15）则)()()()(0110zHzzGzHzzGll（7.2.16）这也就是【“充要”条件3】,由（7.2.15）（（（含含含有有有)(0zH,,,)(1zH）））和（7.2.16）（（（含含含有有有)(0zH,,,)(1zH,,,)(0zG和和和)(1zG）））共共共同同同组组组成成成。。。代入)()]()()()([21)()()(ˆ11000zXzGzHzGzHzXzFzX※(7.1.7)※得)()()(21)(ˆzXczzXzTzzXkl,正是准确重建。我们发现，（7.2.16）是去去去除除除混混混叠叠叠失失失真真真的的的充充充分分分条条条件件件。。。)(0zG和)(1zG最直观、常用的选取方法是l＝0：)()()()(0110zHzGzHzG现在的问题是如何选取)(0zH，)(1zH，实现lkczzT2)((7.2.15)。B)现在我们来分析一下)(0zH，)(1zH，)(0zG和)(1zG在(7.2.16)式制约下所具有的时域关系（当然前提是都为FIR滤波器，可复）：1)由（7.2.16）式，有)()1()()()1()(01110lnhnglnhnglnln（7.2.18）2)双通道滤波器组中，若按(7.2.16)式选定)(0zG和)(1zG。若l为奇数，则)(1ng与)(0nh的偶次移位正交，)(0ng和)(1nh的偶次移位正交；若l为偶数，则)(1ng与)(0nh的奇次移位正交，)(0ng和)(1nh的奇次移位正交。这是两通道滤波器组中的交叉正交关系。3)由【“充要”条件3】lkczzPzPzT2)()()(，由于()()PzPz只包含奇次项，所以lk只能为奇数。若取0l，k只能是奇数。这就是说，在0100()()()()()PzHzHzHzGz中，它的奇序号项只能有一项，即在kz处，于是，我们有lilicknhingcknhing)(),()(),(1100这是反映同一条支路上，分析滤波器和综合滤波器之间的正交关系。上面这几条时域关系是共性。后面，共轭正交镜像滤波器组中，将讨论那种情况下的0h和1h的关系。7.4共轭正交镜像滤波器组)()(10)1(1zHzzHN(7.4.1)式中N为偶数（后面说明原因）。按【“充要”条件3】，取0l，)()()()()(0110)1(10zHzGzHzzHzGN(7.4.2)把这四个滤波器时域的关系归纳如下：)1()1()1()1()(01011nNhnNhnhnnN(7.4.3b))1()(00nNhng(7.4.3c))()1()(011nhngn(7.4.3d)—————————————————————————————————————将(7.4.1)式代入(7.2.13)式，有)()()()(det100100)1(zHzHzHzHzNmH(7.4.4)令)()()(100zHzHzPC※(7.4.5a)※则)()()()()(111100zHzHzHzHzPC※(7.4.5b)※再令)()()(zPzPzTCCC※(7.4.6a)※则)(det)()1(zTzzTCNmH※(7.4.6b)※请注意此处)(zPC、)(zTC的定义与(7.2.3)和(7.2.4)式的区别。再将CQMFB的关系代入(7.1.5)式，有)(21)(21)()1(0zTzzTzFCN（7.4.7）为了设计的方便，常取0',')()()(cczPzPzTCCC（7.4.8）则)1(02')(NzczF为一纯延迟，且倒倒倒置置置。从而实现)(ˆzX对)(zX的准确重建。在我们利用单带滤波器的方法设计半带滤波器，从而设计出CQMFB时，实际上取的是1)(zTC。另外，这里取c’＝2或1是合理的。原因有二：（1）由于)(jCeP恒正，故)(zTC只能取正的纯延迟形式0',')('czczTkC；（2）由前节的结论lkczzPzPzT2)()()(，lk只能为奇数。在CQMFB中0l，且由于设计方法的要求，N取了偶数。由（7.4.6b），')1(kNlk,故k’只能取偶数（通常就取0），即取0',')(cczTC。不过在算法处理上，（以单带方法为例c’＝1）可以将得到的)(ˆnx乘以－2，从而得到纯延迟的准确重建：)1(0)(NzzF。)()()(100zHzHzPC，为用谱分解的方法设计)(0zH打下了基础；由(7.4.8)式有')()(2)(020ceHeHjj,(实系数)(7.4.9a)')()()()(100100czHzHzHzH(7.4.9b)即)(0jeH满足功率对称关系。该式又可改写为')()(2120ceHeHjj(7.4.10)即0H，1H满足功率互补关系。CQMFB中的两个基本事实：『事实一』：满足(7.4.8)式PR条件的)(zP必是一个半带滤波器；『事实二』：)(0nh和)(1nh各自及相互之间有如下正交性：（1）)(0nh和)(1nh各自都具有偶次移位的正交归一性，即kcknhnh2')2(),(00，Zk（7.4.11a）kcknhnh2')2(),(11，Zk（7.4.11b）（2）)(0nh和)(1nh之间具有偶次移位的正交性，即0)2(),(10knhnh，Zk（7.4.12）此关系，结合上节论证的)()(ngnh、的关系，完整的描述了各种时域关系。『事实1的证明』：将)(zPC写成多相形式，有)()()(21120zEzzEzPppC则)()()(21120zEzzEzPppC将)(zPC、)(zPC代入(7.4.8)式，有请请请注注注意意意，，，CCCQQQMMMFFFBBB中中中)(0zH、、、)(1zH、、、)(0zG和和和)(1zG都都都是是是FFFIIIRRR的的的，，，但但但)()()(100zHzHzPC是是是对对对称称称的的的（（（零零零相相相位位位）））非非非因因因果果果的的的半半半带带带滤滤滤波波波器器器。。。这这这由由由事事事实实实111、、、222的的的证证证明明明过过过程程程可可可见见见。。。)(npC等等等于于于)(0nh的的的自自自相相相关关关函函函数数数→→→对对对称称称的的的（（（零零零相相相位位位）））非非非因因因果果果。。。