10静电场中的导体和电介质习题解答

第十章静电场中的导体和电介质一选择题1.半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q(a＞R)。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为()20200π4.D)(π4.Cπ4.Bπ4.AR)(aqaRaqaqRaqo解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q分布在导体球表面上，且0)(qq，它们在球心处的电势qqqRRqV0dπ41π4d00点电荷q在球心处的电势为aqV0π4据电势叠加原理，球心处的电势aqVVV00π4。所以选（A）2.已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为()00002.D.C2.B2.AεdE=εE=EE解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S2，可得0E。所以选（C）3.如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的距离为d处(dR)，固定一电量为+q的点电荷。用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心o处的电势为())Rd(qRdq11π4D.4πqC.π4B.0A.000解：球壳内表面上的感应电荷为-q，球壳外表面上的电荷为零，所以有)π4π4000RqdqV。所以选（D）4.半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比R/r为()A．R／rB.R2/r2C.r2/R2D.r/R解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q、q，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则rqRQ00π4π4即rRqQRrrqRQrR224/4/所以选（D）5.一导体球外充满相对介质电常数为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面oRd+q．选择题3图选择题2图d上的自由电荷面密度为()A.ε0EB.ε0εrEC.εrED.(ε0εrε0)E解：根据有介质情况下的高斯定理qSDd，取导体球面为高斯面，则有SSD，即EDr0。所以选（B）6.一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为E0，现断开电源，注满相对介质常数为εr的煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（）0r00rr0rr00r01.D1.C1.B.A)E(εεEε)(εEε)(εεEεε解：断开电源后，不管是否注入电介质，极板间的自由电荷q不变，D0=D即EEr000得到r0/EE又PED00rr0r00000)1(EEEEDP所以选（B）7.两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，两者的电容值相比较()A.实心球电容值大B.实心球电容值小C.两球电容量值相等D.大小关系无法确定解：孤立导体球电容RC0π4，与导体球是否为空心或者实心无关。所以选（C）8.金属球A与同心球壳B组成电容器，球A上带电荷q，壳B上带电荷Q，测得球和壳间的电势差为UAB，则该电容器的电容值为（）A.q/UABB.Q/UABC.(q+Q)/UABD.(q+Q)/(2UAB)解：根据电容的定义，应选（A）。9.一空气平行板电容器，极板间距为d，电容为c。若在两板中间平行地插入一块厚度为d/3的金属板，则其电容值变为()A.CB.２C／３C.3C／２D.２C解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为：0032)3(ddddEU其电容值变为：CdSSUQC23233d200所以选（C）10.一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变()A.电容器的电容量B.两极板间的场强C.电容器储存的能量D.两极板间的电势差解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板电容器的电容dSC，改变两极板间的距离d，则电容C发生变化；两极板间的场强dUE，U不变，d变化，则场强发生变化；电容器储存的能量2e21CUW，U不变，d变化，导致电容C发生变化，则电容器储存的能量也要发生变化。所以选（D）d/3d选择题9题二填空题1.一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为(x、y、z)，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E(x、y、z)=，其方向。解：E(x、y、z)=(x、y、z)/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(0)或与导体表面垂直朝里(σ0)。2.如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为，则导体板两侧面的感应电荷密度分别为1和2=。解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得：022202010；21。由此可解得：21；22。3.半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒(R1R2)，其间充满着相对介电常数为εr的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为和，则介质中的电位移矢量的大小D=，电场强度的大小E=。解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D=/（2πr），电场强度大小E=D/εrε0=/（2πεrε0r）。4.电容值为100pF的平板电容器与50V电压的电源相接，若平板的面积为100cm2，其中充满εr=6的云母片，则云母中的电场强度E=；金属板上的自由电荷Q=；介质表面上的极化电荷Q'=。解：极板间电场强度V/m1042.93r0r0r0SCUSQDE，两极板上自由电荷C1059CUQ，由高斯定理，当有介质时，对平板电容器可有0QQSE，Q为自由电荷，Q'为介质表面上的极化电荷，代入已知数据可求得Q'=×10-9C。5.平行板电容器的两极板A、B的面积均为S，相距为d，在两板中间左右两半分别插入相对介电常数为εr1和εr2的电介质，则电容器的电容为。解：该电容器相当于是两个面积为S/2的电容器的并联，电容值分别为：dSC211r01，dSC212r02，)(22r1r021dSCCC6.半径为R的金属球A，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×105J,今将该球与远处一个半径是R的导体球B用细导线连接，则A球储存的电场能量变为。解：金属球A原先储存的能量J1052152CQW,当它与同样的金属球B连接，则金属球A上的电荷变为原来的1/2，则能量J1025.1)2/(2152CQW7.三个完全相同的金属球A、B、C，其中A球带电量为Q，而B、C球均不带电，先使A球同B球接触，分开后A球再和C球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A、B两球所储存的电场能量WeA、WeB，与A球原先所储存的电场能量We0比较，WeA是We0的倍，WeB是We0的倍。解：初始A球的电场能量CQW20e21，先使A球同B球接触，则QQQBA21，0e2e41)2/(21WCQWB，分开后，A球再和C球接触，则QQQCA41，0e2e161)4/(21WCQWA12填充题2图8.一空气平行板电容器，其电容值为C0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为W0，今在两极板间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，则此时电容值C=，储存的电场能量We=。解：初始时电容000UQC，充电后将电源断开，Q0不变，由r0/DE，当两极板间充满电介质时，两极板电势差r0r00r0USdQdDEdU，0r0CUQCr0r20202121WCQCQW。9.一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上并保持电压恒定为U。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的改变为，电源对电场做功为，外力对极板做功为。解：初始时，电容器的静电能2000002121UdSUQWe将极板距离拉开一倍，电容值变为00212CdSC，极板间电压不变，00002121QUCCUQ，此时电容器的静电能200e0e414121UdSWQUW∴电容器中静电能的改变200eee41UdS电源对电场做功200021)21(UdSQQUqUW由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功dSUUdSUdS10.平板电容器两板间的空间（体积为V）被相对介电常数为εr的绝缘体充填，极板上电荷的面密度为，则将绝缘体从电容器中取出过程中外力所做的功为。（摩擦不计）解：当平板电容器充满相对介电常数为εr电介质时，场强r0r01DE，抽出后场强002DE此时具有的静电能VVEVwWer0221r0e121d21d当电介质取出后静电能VVEVwW02220e2e21d21d由能量守恒，在此过程中若不计摩擦，外力做功的等于静电能的增量)11(22121r02r0202eVVVW三计算题1.如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q，设无限远处为电势零点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷；(2)球心处由球壳内表面上电荷产生的电势；(3)球心处的总电势。解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电荷q，外表面上带电荷q+Q。（2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为aqaqVq00π4π4dεε（3）球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和电荷q在O点产生的电势的代数和bQbarqbqQaqrqVVVVqQqq000000π4)111(π4π4π4πεεεεε7.两同心导体球壳中间充满相对介电常数为εr的均匀电介质，其余为真空，内球壳半径为R1，带电baqrQ计算题1图量为Q1；外球壳半径为R2，带电量为Q2，如图所示。求图中距球心O分别为r1、r2、r3的a、b、c三点的场强和电势。解：分别取半径为r1、r2、r3的高斯球面，利用高斯定理得：Ea=0,422r01rQEbπ沿径向方向向外,422021rQQEcπ沿径向方向向外11Rr，∞ππ2211202121r014)11(4dddRcRRbraRQQRRQrErErEU221RrR，∞ππ2222202122r014)11(4dddRcRrbrbRQQRrQrErErEU23Rr，∞∞ππ33302120214d4drrccrQQrrQQrEU8.一空气平行板电容器，两极板面积均为S，板间距离为d，在两极板间平行地插入一面积也是S，厚度为t的金属片，试求：(1)电容C等于多少(2)金属片在两极板间放置的位置对电容值有无影响解：设极板上分别带电量+q和q；金属片与A板距离为d1，与B板距离为d2；金属片与A板间场强为E1=q/(ε0S)金属板与B板间场强为E2=q/(ε0S)金属片内部场强为0E则两极板间的电势差为UAUB=E1d1+E2d2=(q/ε0S)(d1+d2)=(q/ε0S)(dt)由此得C=q/(UAUB)=ε0S/（dt）因C值仅与d、t有关，与d1、d2无关，故金属片的安放仅置对电容值无影响。计算题7图r2r3bOR1r1cR2Q1aQ2dd2d1tq+qAB