高等数学-两个重要极限ppt课件

目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束第七节两个重要极限第一章1目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束一、1sinlim0xxx1.夹逼准则上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ如果数列{},{}nnxy及{}nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那么数列{}nx的极限存在,且axnnlim.2目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束准则Ⅰ′如果当),(0xUxo(或)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那么)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.||xX)(xhy()yfx)(xgyAA0x0x0x）（）（12A3目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束首先注意到都有定义对一切函数0sinxxx设法构造一个“夹逼不等式”，使函数xxsin在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数g(x),h(x)之间，以便应用准则Ⅰ‘.)20(,,xxAOBO圆心角设单位圆,tan,,sinADxABxBCx弧.ADO，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BCOAB的高为OBAx1DC5目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束1sincosxxx圆扇形AOB的面积当即xsin21xtan21亦即)0(tansin2πxxxx),0(2πx时，)0(2πx显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注注OBAx1DC6目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例1注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：说明:计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx8目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束练习.求下列极限:9目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束()0tan()lim1()xxx解:xxxtanlim0xxxxcos1sinlim0xxxsinlim0xxcos1lim01练习.例2.求10目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例3.求解:令,arcsinxt则,sintx因此原式tttsinlim0ttsin1练习.11目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束20sinlimx2x2x21例4.求解:原式=2220sin2limxxx2121例5.解:12目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例6求30tansinlimxxxx30sin(1cos)limcosxxxxx原式20sin1cos1lim()cosxxxxxx111122例7求解于是13目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束演示文稿后等卷板机(1)exxx二、1lim(1)ennn111lim(1)?nnne15目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束.)11(limexxx用x代替n,可得(1)当x取实数时情形对任意正数x，总有n为非负整数，则有16目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束exxx)11(lim(2)当x取实数时情形令则e)1(lim10zzz此极限也可写为17目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束1())0lim1())xxxe（（注意这个极限的特征：底为两项之和，第一项为1，第二项是无穷小量，指数与第二项互为倒数。利用变量代换可导出上述极限的一般形式：()1()()lim(1)e,xxx1型18目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例1.求解:令,xt则ttt)1(lim11limt说明：若利用,e)1(lim)()(1)(xxx则原式111e)1(limxxx一般地lim1xkxkexx时，t19目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例2解lim1axbxkx结论：kae20目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束解一2lim(1)1xxx原式2e解二xxxxx)11()11(lim原式1ee例3求xxxx11lim2e21222lim(1)(1)11xxxx122lim(1)(1)11xxxx21目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束练习1.解22目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束练习2.解或23目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束内容小结两个重要极限或注:代表相同的表达式24目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束思考与练习填空题(1～4);_____sinlim.1xxx;____1sinlim.2xxx;____1sinlim.30xxx;____)11(lim.4nnn0101e第七节作业P341(1)(3)(5)(8)(9)(12);225目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束练习题26目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束27目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束思考题求极限xxxx193lim思考题解答xxxx193limxxxxx111319limxxxxx313311lim9990e28