第一节数列极限存在准则-分析

12.1.3数列极限存在的条件2定理2.9单调有界数列必有极限定理2.9的几何解释：以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动其结果或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生一单调有界定理Mx1x5x4x3x2xnA1)单调递增有上界的数列存在极限;2)单调递减有下界的数列存在极限.3定理2.9(单调有界定理)单调有界数列必有极限.na不妨设为有上界的递增数列na由确界原理，数列.naa下证就是的极限,事实上，按上确界定义证nanN又由的递增性，当时有nnaaa而是的一个上界，故，都有nN所以当lim.nnaa即.同理可证有下界的递减数列必有极限sup.naa有上确界，记0Nnaa，，使得.NaaNanaa.naaa时有.naa.a4例如1{}nn数列{}1nn数列由定理2.9知1limlim1nnnnnn及1lim1,lim1.1nnnnnn是单调减少且下界为1的数列;是单调增加且上界为1的数列.存在.实际上5{}{}.,nnaa显然是递增的，下证有上界事实上证1(35)11111,2,,232.{}.nnannaP设，其中实数证列例明数收敛1112n,{}.na于是由单调有界定理收敛na222111123n1121231(1)nn1121123111nn2,1,2,.n62222222(P36).证明数列，，，，收敛，并求其极限例22,2na证记.是递增的{}.na下面用数学归纳法证明有上界122.a显然2,na假设222.故{an}有上界.由单调有界定理，数列{an}有极限，记为a.由于212nnaa对上式两边取极限得22aa12aa解得或，1a由保不等式性，不可能，故有lim2222.n12,nnaa即12nnaa则有{}na易见数列7例3设S为有界数集.证明若supS=a∉S，则存在严格单调递增数列{xn}⊂S，使得lim.nnxa证因为a是S的上确界，故对任给的ε0，,xS存在使得,aS又因,xa故从而有.axa11,现取1,xS则存在11.axa使得211min{,}0,2ax再取2,xS则存在22.axa使得2211().xaaaxx且有1,nxS一般地，按上述步骤得到之后11min{,}0,nnaxn取,nxS则存在.nnaxa使得11().nnnnxaaaxx且有}nxS上述过程无限进行下去，得到{，它是严格递增数列，且满足nnaxa||nnxalim.nnxa这就证明了,xana1,1,2,.nn84(37)1lim1.nnPn例证明存在11同理11112111112!13!11nnn1121111!111nnnnn证(补)11nnan11111nnan因111(1,2,,1)1kkknnn1na且多了最后一个正项，从而{an}单增.1121111!nnnnn112111(1)!111nnnnn11!nn2(1)12!nnn(1)211!nnnnn11112!n112113!nn9从而对任意的n有na故{an}有上界，1lim(1)nnn注(1)这个极限值被瑞士数学家欧拉首先用字母e(是一个无理数,其值用e=2.7182818284……)来表示，即1lim(1)e.nnn存在.111111223(1)nn111111112231nn133.n111112!3!!n10定理2.10的几何解释柯西准则说明收敛数列各项随着n，m的越大，彼此越是接近，以至于n，m充分大时，任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说，收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.a1a2a3a4a5柯西收敛准则的条件称为柯西条件.二柯西收敛准则{}2.103:0,.8nnmaNPnmNaa数列收敛的充要条件是对任给的，存在正整数，使得当时有定理（）11{}{}.nnaa为了证明收敛，只要证明满足柯西条件证11111,2,232.{}.1(35)nnPanna设，，其中实数用柯西收敛准则证明数列收敛例||nmaa111mm11mn,事实上1(1)mm0,故21(1)m{}.na故数列收敛nm，要使得111(1)(2)mmn1,N,nmN||.nmaa有1m,1m只要即可.21(2)m21n1(1)(2)mm1(1)nn1112mm111nn12121121222:0.(1,2,),,,,(2)101010101010(),0,1,2,,9,5(38)1,2,.nnnkbbbnnbbbbbPbbk证明任一无限十进小数的位不足近似所组成的数列满足柯西条件从而必收敛其中例为中的一个数122.101010nnnbbbanm记不妨设证，要使得nmaa1910m1111010mnm0,对任给的(2)().这就证明数列满足柯西条件从而必收敛1212101010mmnmmnbbb110m1m,1m只要即可.1,N取,nmN则对一切.nmaa有12999101010mmn11101110nm13111{}.2nnaan证明：若列例，则数发散2||mmaa011.22mm111222mmm证)}({na数列发散的充结论补充：要条件是0000000,||.nmNNnmNaa，，，有{}na数列收敛0NN||.npnNnNpaa，，，，有柯西收敛准则的等价叙述(补充):{}.na故数列发散111122mmm0102＝，NN，2mmN，，有140(),Ar设一笔贷款称为本金，年利率为则连续复利问题(补充)10(1),AAr一年后本利和2210(1)(1),AArAr两年后本利和0(1).kkkAAr年后本利和nr如果一年分期计息，年利率仍为，则rn每期利率为，于是一年后的本利和10(1)nrAAn0(1)nkkrkAAn年后本利和15()n如果计息期数，即每时每刻连续计算复利为复利称,0lim(1)nkknrAAnk则年后的本利和01lim1rknrnAnr0erkA连续复利在研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等实际问题中，都有十分广泛的应用.01100%1()1().rAkAe特别地，当，元，年时，这表明，e在经济学上可解释为：当利率为100%时，连续计算复利，1元在1年后将增至e(2.72)元.该结论反映出“货币的时间价值”.