沪科版九年级下册数学《垂径定理》课件

24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦第24章圆安徽省安庆市岳西县莲云中心学校汪金星赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？垂径定理及其推论一合作探究问题1在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？O圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.•问题2如图,AB是的一条弦，CD是⊙Ｏ的直径,且CD⊥AB,垂足为E,•(1)这是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么?•(2)你能发现图中有哪些相等的线段和相等的弧?为什么?·OABDEC问题3已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.求证：AE=EB，，.ADDBACCB·OABDEC证明：连接OA，OB，则OA=OB.△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.P·OABDECADDBACCBDBADCBACQ同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合，与重合，与重合.因此AE=EB，，.所以⊙O关于直线CD对称.垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，⌒⌒AC=BC，AD=BD.⌒⌒几何语言归纳总结想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC归纳总结垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。题设•①直径•②垂直于弦结论•①平分弦•②平分弦所对的优弧•③平分弦所对的劣弧猜想：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。题设•①直径•②平分弦结论•①垂直于弦•②平分弦所对的优弧•③平分弦所对的劣弧如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB中点，过点E作直径CD。(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)·OABCDEAC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒⌒解：(1)CD⊥AB，理由如下：连接AO，BO，如图，则AO=BO.又∵AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.(2)由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结（不是直径）例1如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.·OABE解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E，则又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有一垂径定理及其推论的计算二2222534cm.OEOAAE典例精析1163cm.22AEEBAB答：圆心到弦AB的距离OE是4cm.圆心到弦的距离叫做弦心距.【变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.·OABE解析：连接OA，如图.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=2×8=16（cm）.16一∴22221068cmAEOAOE，例4赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.垂径定理的实际应用三由垂径定理，得AD=AB=18.7m，设⊙O的半径为R，在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7.由勾股定理，得ABOCD解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.解得R≈27.9.答：赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.∴R2=(R-7.2)2+18.72.21在圆中，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd2222ardd+h=rOABC·归纳总结a1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.已知⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°,则弦AC=.3.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.14cm或2cm103cm当堂练习4.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.3cm≤OP≤5cmBAOP垂径定理内容推论辅助线垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两种辅助线：连半径；作弦心距构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程有关计算课堂小结平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.1.课本P17练习题；2.见《学练优》本课时练习。课后作业