《概率论与数理统计》复习资料

《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）1《概率论与数理统计》复习资料一、填空题（15分）题型一：概率分布的考察【相关公式】（P379）分布参数分布律或概率密度数学期望（E）方差（D）（0—1）分布01p1(1),0,1kkPXkppkp(1)pp二项分布101np{}(1),0,1,,knknPXkppkkn……np(1)npp负二项分布101rp1{}(1)1,1,rkrkPXkpprkrr……rp2(1)rpp几何分布01p1{}(1)1,2,kPXkppk……1p21pp超几何分布,,()()NMaMNnN{},max{0,}min{,}MNMknkPXkNkknNMknM为整数nMN11nMMNnNNN泊松分布0{}!0,1,2,kePXkkk……均匀分布ab1,axbba()fx0,其他2ab2()12ba【相关例题】1、设(,)XUab，()2EX，1()3DZ，则求a，b的值。《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）221(,),()2,(),3()12,,21231,3.XUabEXDXabbaabab解：根据性质：解得：2、已知(,),()0.5,()0.45XbnpEXDX,则求n，p的值。0.5,(1)0.450.1.npnppp解：由题意得：解得：题型二：正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】（P163）2/2,1-/XnXzn为已知由枢轴量，得到的一个置信水平为的置信区间：【相关例题】1、（样本容量已知）1225~(,0.81),,,,,5,0.99XNXXXX已知总体……为样本且则的置信度的置信区间为：/20.0250.9550.181.964.6472,5.35285Xzzn解：代入公式得：2、（样本容量未知）123(,1),,,,,,0.9510.88,18.92.nXNXXXX已知为样本容量若关于的置信度的置信区间，求样本容量2227.847.843.9224.XzXzznnnnn解：由题意知：样本长度为，则有：代入数据，得：《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）3题型三：方差的性质【相关公式】（P103）21()0,2()(),()()3,,()()()DCCDCXCDXDXCDXCXYDXYDXDY为常数。，为常数。相互独立【相关例题】1、12121212(2,4),(0,9),,,(2).XXXUXNXXDXX已知，两变量，且相互独立求1221212~(2,4),(0,9)()1(2)()4()4936123XUXbaDXXDXDX解：题型四：2t分布、分布的定义【相关公式】（P140、P138）21232222122221(0,1),(),,/.2,,,,(0,1),,.nnXYnXYXtYnntttnXXXXNXXXnn设且相互独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记为设……是来自总体的样本则称统计量服从自由度为的分布记为【相关例题】1、2(0,1),(4),,,/XXYXYYn若且相互独立？(4)/XtYn答：2、302123301,,,,0,1,?iiXXXXNX若变量……服从则30221(30).iiX答：《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）4题型五：互不相容问题【相关公式】（P4）,ABAB若则称事件与事件是互不相容的。【相关例题】1、()0.6,,,().PAABPAB若互不相容求,()(())()()0.6ABABPABPASBPAABPA解：互不相容二、选择题（15分）题型一：方差的性质【相关公式】（见上，略）【相关例题】（见上，略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略）题型五：对区间估计的理解（P161）题型六：正态分布和的分布【相关公式】（P105）【相关例题】~(0,2),~(3,9),~?XNYNXY若则(03,29)(3,11).NN答：题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2,01xx设()Xfx0,其他已知{}{},PXaPXaa则求。《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）5201{}{}1{}212|02022aPXaPXaPXaaxdxxaa解：由题意，得：即有：又三、解答题（70分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式：n1122SP()=|()||()()(|)()=()(|)()(|).innESAEBAPABPBPABPBPABPBPABPBAPAPAPABPBPABPB12设实验的样本空间为，为的事件，B，B，……，B为的划分，且0,则有：P?…其中有：。特别地：当n2时，有：贝叶斯公式：i100(1,2,,),()(|)()(|)()(|)()=()(|)()(|)()(|)()(|)()iiiiniijESAEAPBinPBAPABPBPBAPAPABPBPABPABPBPBAPAPABPBPABPB12n设实验的样本空间为。为的事件,B，B，……，B为S的一个划分，且P，……则有：特别地：当n2时，有：【相关例题】★1、P19例5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。问：（1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）6（2）在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。（见下）11223311121==(1,2,3).1()(|)()(|)()(|)()0.020.150.010.800.030.050.0125(2)(|)()0.020.15(|)0.24()0.0125(|ABiiBPAPABPBPABPBPABPBPABPBPBAPAPBA解：设取到一只次品，在厂取到产品且、B2、B3是S的一个划分。则由全概率公式有：由贝叶斯公式有：22333(|)()0.010.80)0.64()0.0125(|)()0.030.05(|)0.12()0.0125PABPBPAPABPBPBAPA答：综上可得，次品出自二厂的可能性较大。2、袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽），在袋中任意取一枚，将他掷r次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？={}B={r}P|,1=,(),(|),(|)1.21()(|)()2|.1()(|)()(|)()2rrrAABmnPAPAPBAPBAmnmnmPABPBAPAmnPABmnPBPBAPAPBAPAmnmn解：设所抛掷的硬币是正品，抛掷次都得到国徽，本题即求得：即有：3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为A1），损坏10%（这一事件记为A2），损坏90%（这一事件记为A3），且知P（A1）=0.8，P（A2）=0.15，P（A3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取3件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），123(|),(|),(|)()PABPABPAB试求这里物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率。（见下）《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）7333123123112233333111(|)0.98,(|)0.9,(|)0.1()0.8,()0.15,()0.05()(|)()(|)()(|)()0.980.80.90.150.10.050.8624(|)()0.9830.8(|)0()0.8624PBAPBAPBAPAPAPAPBPBAPAPBAPAPBAPAPBAPAPABPB解：由题意可知：23.8731(|)0.1268(|)0.0001PABPAB4、将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为ɑ，而输出其他字母的概率都是（1-ɑ）/2.今将字母串AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道，输入AAAA、BBBB、CCCC的概率分别为p1、p2、p3（p1+p2+p3=1），已知输出为ABCA。问输入AAAA的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的。）2233331232212231={AAAA}={CCCC}={ABCA}|.()(|)()(|)()(|)()111()()()2221()()(|)()2(|)11()()()()22ABBBBBCDPADPDPDAPAPDBPBPDCPCppppPADPDAPAPADPDPDp解：设输入为，=输入为，输入为，输出为，依题意求3231111123111()2111(31)1()()(1)222pppppapppppp题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式：()1fxdx，且对于任意实数，有：212211{}()()()xPxXxFxFxfxdxx。【相关例题】（1）设随机变量X的分布函数为：0,1xFX（X）=ln,1xxe1,xe《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）8①5(2)(03)(2)2PXPXPX求、、②().xfx求概率密度（见下）(1)(2)(2)ln2(03)(3)(0)101555(2)()(2)ln2241(2)()XXXXXPXPXPXFFPXFFdFXdxx解：1,1xex()xfx0,其他（2）2()()1Afxxx，是确定常数A。200+1-1+([arctan][arctan]11AdxxAxxA解：由相关性质得：解得：（3）,036xx设随机变量X具有概率密度f(x)=2,342xx，求X的分布函数。0,其他解：0，x0,0306xxdxx2,0312xx3622,3403xxxx232,344xxx1,4x2、正态分布(高斯分布)()Fx《概率论与数理统计》复习资料（内部资料）9【相关公式】（1）公式22()21()()2xfxex其中：,,为常数，则称X服从参数为的正态分布。（2）若2~=~(0,1).xXNZN，，则（3）相关概率运算公式：122112{}{}();{}{}()();()1().XxxPXxPxxxxXPxXxPxx【相关例题】1、（P5827）某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mmHg计）服从N~（110,122），在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X，求：（1）{105