大学解析几何

第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.3数乘向量§1.2向量的加法§1.4向量的线性关系与向量的分解§1.6向量在轴上的射影§1.5标架与坐标§1.7向量的数量积§1.9三向量的混合积§1.8两向量的向量积§1.10三向量的双重向量积•量的分类：标量、向量（矢量）、张量等§1.1向量的概念定义集合相互关系定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.向量的几何表示：||a21MM||向量的模：向量的大小.或以1M为起点，2M为终点的有向线段.a21MM或有向线段有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小,1M2Ma§1.1向量的概念返回下一页所有的零向量都相等.ab模为1的向量.零向量：模为0的向量.0单位向量：120MMeaae或定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为ba＝定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.BA.AB与互为反向量aa的反向量记为aa上一页下一页返回自由向量.固定向量零向量与任何共线的向量组共线.定义1.1.4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.定义1.1.5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回注：并不是所有的有向线段都表示向量，如刚体的有限转动。注：在不作声明的前提下,所说的向量都是自由向量.//abxzyxzyO间点为点以空任意一始,OAaABbOAB连，线，接作向量得一折aabOABab设，义、已知向量定1.2.1这种求两个向量和的方法叫三角形法则..abcab两记叫做向量的和，做与,OOBc从线点点折的端到另一端B的向量bc一、向量加法的概念§1.2向量的加法那么对角线向量OCOAOB.OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则.如果以两个向量,OAOB为邻边组成一个平行四边形OACB，定理1.2.1Back注：在自由向量的意义下，两向量合成的平行四边形法则可归结为三角形法则.一、向量加法的概念为什么是这样定义，而不是其它的？定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：.abba（2）结合律：cbacba)().(cba（4）.0)(aa（3）a+0=a.二、向量加法的运算规律OBCAababOBCAabcabcabc12,,naaa个则广有限向量相加可由向量的三角形求和法推:OA1A2A3A4An-1An这种求和的方法叫做多边形法则.O点开自任意始，111221,,,nnnOAaAAaAAa依次引,12nOAAA线由此得一折,12,,,nnOAanaaa个于是向量就是向量的和，1121.nnOAOAAAAA即1a4a2a1nac3aBack二、向量加法的运算规律义定1.2.2bcabca当时向量与向量的和等于向量，即，cab们我把向量叫做向量与的差，.cab记并做向量减法的定义：.)(baba向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只需改变它的符号.三、向量的减法aba-bOBAOBBAOA向量减法的几何作图法:abab，已知向量，如何作出？OOAaOBb间点，，自空任意引向量BAOAOBabBAab为那么向量即所作..abababab对两，于任意的向量，有下列不等式性质：三、向量的减法abbbcbabac)(babaab上一页下一页返回这个不等式还这个不等式还可以推广到任意有限多个向量的情况：1212.nnaaaaaa.abababab对两，于任意的向量，有下列不等式1,.abc例设互不共线的三矢量与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零矢量,,0,0abcABCABaBCbCAcABBCCAAAabc证必要性设三矢量，，可以构成三角形，即有，那么＋＋＝即0,,,0,.abcABaBCbACabACccACcCAabcABC充分性设，作那么所以从而是的反矢量，因此＝，所以，，可构成一个三角形ABC上一页返回设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aaaa2a211.3.1,00..定义实数与向量的乘积是一个向量，记做它的模是；的方向，当时与相同，当时与相反我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘aaaaaaa§1.3数乘向量下一页返回定理1.3.1数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合律：)()(aaa)(（3）第一分配律：aaa)(baba)(0.ababa设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使定理两个向量的平行关系（4）第二分配律：上一页下一页返回1aa（1）证充分性显然；必要性a‖b设,ab取取正值，同向时与当ab取负值，反向时与当ab.ab即有.同向与此时abaa且aab.b.的唯一性，设ab，又设ab两式相减，得，0)(a，即0a，0a，故0.即上一页下一页返回同方向的单位向量，表示与非零向量设aea按照向量与数的乘积的规定，aeaa||.||aeaa上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回0.aaa单单记与同方向的位向量叫做的位向量，做证明方法,是根据可能出现的情况,证明等式两边的向量长度相等与方向相同.1)设a与b为共线向量：2)设a与b不共线.空间解析几何090610.pdf我们对规律4给出证明.baba)(总结：向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项式的运算规律相同，因此，对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那样进行运算.例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证1()2AMABAC如图因为,AMABBMAMACCM2()(),AMABACBMCM所以但0,BMCMBMMB因而2AMABAC即1()2AMABACABCM(图1.11)上一页下一页返回例2用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么MNANAM1122ACAB1()2ACAB12BC所以//MNBC且12MNBC上一页返回BCMNA12,,,,nAAAM120;nMAMAMAO12nOAOAOAnOM1、对于任意取定的点组证明：（1）存在唯一的点，使得（2）对于任意的点有，.一、向量的线性组合定义1.4.1由向量12,,,naaa与实数12,,,n所组成的向量1122nnaaaa，叫做向量的线性组合.当向量a是向量12,,,naaa的线性组合时，我们也说：向量a可以用向量12,,,naaa线性表示.或者说，向量a可以分解成向量12,,,naaa的线性组合.向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.Back§1.4向量的线性关系与向量的分解定理1.4.1如果向量0e，那么向量r与向量e共线的充要条件是r可以用向量e线性表示，或者说r是e的线性组合，即rxe（1.4－1）并且系数x被,er惟一确定.这时e称为用线性组合来表示共线向量的基底.二、共线向量的基底Back这时12,ee叫做平面上向量的基底.定理1.4.2如果向量12,ee不共线，那么向量r与12,ee共面的充要条件是r可以用向量12,ee线性表示，或者说向量r可以分解成12,ee的线性组合，即12rxeye（1.4－2）并且系数,xy被12,ee惟一确定.三、共面向量的基底OE2BPE1A1e2erBack这时向量123,,eee叫做空间向量的基底.定理1.4.3如果向量123,,eee不共面，那么空间任意向量r可以由向量123,,eee线性表示，或者说空间任意向量r可以分解成向量123,,eee的线性组合，即123rxeyeze，（1.4－3）并且其中系数,,xyz被123,,,eeer惟一确定.四、空间向量的基底E33e2eE2E1OPA1erBC0101OABOA=aOB=bMNOAOBOM=λaON=μbANBMPOP=pab、别，两边点设试、线组已知三角形，其中,而分是三角形上的，且有，，与相交于，把向量分解成的例性1合.,例题ONBPAMapbba例2证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,,,.,,,,,,,,3211321321321关系式线性表示的，，用先求取不共面的三向量就可以了三点重合下只需证两组对边中点分别为其余它的中点为线为的连的中点对边一组设四面体证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD上一页下一页返回),(211AFAEAP连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有又因为AF1是△ACD的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF,21211eABAE而),(41)(2121213213211eeeeeeAP从而得)3,2(),(41321ieeeAPi同理可得321APAPAP＝＝所以.,,321三点重合，命题得证从而知PPP上一页下一页返回换句话说，向量12,,,naaa叫做线性无关就是指：只有当120n＝＝＝＝时，（1.4－4）才成立.五、向量的线性关系Back定义1.4.2对于n个向量12,,,naaa，如果存在不全为零的n个数12,,,n使得11220nnaaa＝，（1.4－4）那么n个向量叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关.推论一个向量a线性相关的充要条件为0a＝.定理1.4.4在2n时，向量12,,,naaa线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.定理1.4.5如果一组向量中的一部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.推论一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.六、向量线性相关的条件Back定理1.4.6两向量共线的充要条件是它们线性相关.七、共线向量的条件Back定理1.4.7三向量共面的充要条件是它们线性相关.定理1.4.8空间任何四个向量总是线性相关.推论空间四个以上向量总是线性相关.八、共面向量的条件例4设为两不共线向量，证明,abbbaau11bbaav22共线的充要条件是02121bbaa上一页下一页返回证共线vu,vu,线性相关，即存在不全为0的实数,使0vu即0)()(2121bbbaaa又因为不共线,ab,ab线性无关002121bbaa有唯一零解02121bbaa上一页返回例31231231122331231,2,3,,,,,0,=0.设试证三点共线的充要条件是存在不全为零的实数使得且iiOPriPPPrrr上一页下一页返回1rO2P3P1P2r3r定理设A,B是不同的两点,则点C在直线AB上的充要条件是对空间中任取不在直线上的点O,存在惟一的一对实数m,n,使得且m+n=1.而C在线段AB上的充要条件是且上述关系成立.空间解析几何090610.pdfOCmOAnOB0,0,mn定义1.5.1空间中的一个定