量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解

量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解2.9量纲分析与无量纲化物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲221rmmkf加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=LMT-2引力常数k的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)2.9.1量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动)1(321glmt321][][][][glmtlmgm求摆动周期t的表达式设物理量t,m,l,g之间有关系式1,2,3为待定系数，为无量纲量2/12/10321glt(1)的量纲表达式glt2对比33212TLMT12003321量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动)1(321glmt321][][][][glmtlmgm求摆动周期t的表达式设物理量t,m,l,g之间有关系式1,2,3为待定系数，为无量纲量2/12/10321glt(1)的量纲表达式glt2对比33212TLMT12003321对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)2121pppp为什么假设这种形式321glmt设p=f(x,y,z)),,(),,(),,(),,(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍zyxzyxf),,(p=f(x,y,z)的形式为),,(),,,(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中t,m,l,g的一般表达式0),,,(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy)1,1,0,2(),,,(4321基本解4321yyyyglmty1~y4为待定常数,为无量纲量0)(F设f(q1,q2,,qm)=0mjXqniaijij,,2,1,][1ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn是基本量纲,nm,q1,q2,,qm的量纲可表为,}{mnijaA量纲矩阵记作rArank若线性齐次方程组0Ay有m-r个基本解，记作mjyjssjq1为m-r个相互独立的无量纲量,且则)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLA[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力fmjXqniaijij,,2,1,][1航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。mnijaA}{m=6,n=30),,,,,(fsvlg0),,,(21mqqqfTTTyyy)1,0,0()0,1,0()0,0,1(321flgslvlg13132221211,1,3,1,0,2,0,0,2/1,2/1Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rmjyjssjq1m-r个无量纲量0),,,(21mqqqf0),,,,,(fsvlgF(1,2,3)=0与(g,l,,v,s,f)=0等价flgslvlg13132221211为得到阻力f的显式表达式F=0),(213未定mjyjssjq1F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价221213,),,(lsglvglf量纲分析法的评注•物理量的选取•基本量纲的选取•基本解的构造•结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解•方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识2.9.2量纲分析在物理模拟中的应用例:航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf,,,,,~模型船的参数(均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力221213,),(lsglvglf111111,,,,,gvlsf~原型船的参数(f1未知，其他已知)注意：二者的相同2211,1ggllvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1按一定尺寸比例造模型船，量测f，可算出f1~物理模拟221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf2.9.3量纲分析例：爆炸的冲击波(爆炸的破坏力分析)(一)问题提出爆炸的冲击波是造成破坏的主要原因，研究冲击波是必要的。建立数学模型，用予预测冲击波的传播过程：冲击波的半径随时间变化的规律。研究冲击波的半径随时间变化的规律（二）量的分析爆炸—能量释放.发生是在一点上突然释放出大量的能量。主要变量：E—能量爆炸表面形成一个球面，以冲击波形式在空中向外传播.假设球的半径为R:是关于时间的函数.时间t.半径R的变化还与空气密度.空气气压.有关.00P即00,,,REtP设00(,,,)RfEtP(三)假设1)爆炸在一点突然发生,在气压为的空气中传播;2)同一时间只一点发生爆炸,传播空间内无大型障碍物的阻止;3)爆炸在极短时间内释放能量.时,能量E完全释放.0P00t(四)模型的建立寻求关系式00(,,,,)0fREtP量纲分析:力学问题,基本量纲:L,M,T涉及物理量:00,,,,REtP各物理量的量纲:0022222003001222120dim[]dim[],dim[]dim[]dim[],///RLMTELMTflMLTLLMTtLMTLMTPLMTFsfsMLTLLMT功：压强：从而可以得到量纲矩阵:35nmAA35120310101102102A00()()()()()REtPRank(A)=3解齐次线性方程组:AY=0.其中Y=(y1,y2,y3,y4,y5).有m-r=5-3=2个基本解.解得:1(5,1,2,1,0)2(0,2,6,3,5)TTYY得2个无量纲量:512026350012REtEtP变换形式得:1/5021/5602301122REttPE上式满足函数式:(11,22)0由此可得:,代入得11(22)F1/50211()REt21/50()(22)EtRF其中,可以通过小型爆炸实验分析后用数学软件(MATLAB)或最小二乘法求得,最终求得爆炸冲击波表达式.表达式近似描述了爆炸冲击波的传播过程.反过来,根据爆炸过程的高速摄像照片,可以计算出爆炸释放的能量.即已知t时刻的R，求出E.0(22)F和2.9.4无量纲化例：火箭发射2211)(rxmmkxmvxxrxgrx)0(,0)0()(22),,;(gvrtxxm1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速v,星球半径r,表面重力加速度g研究火箭高度x随时间t的变化规律t=0时x=0,火箭质量m1,星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律)0(xgxgrkm22——3个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2变量x,t和独立参数r,v,g的量纲用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc（特征尺度）—无量纲变量tx,vrtrxcc/,如),,;(gvrtxx利用新变量,,tx将被简化cctttxxx,令xc,tc的不同构造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同简化结果),,;(gvrtxxxrvtdxdrvxxvtdxdvx2222),,;(gvrtxx);(txx为无量纲量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(,0)0()(221)0(,0)0(,)1(122xxrgvxxgvtgvxcc/,/23）令),,;(gvrtxx1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx);(txx为无量纲量),,;(gvrtxxgrtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1);(txx为无量纲量)/(80008.91063703smrg1）2）3）的共同点只含1个参数——无量纲量);(txx解重要差别rgv2考察无量纲量v1在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx1)忽略项无解x不能忽略项1)0(,0)0(,0)1(12xxxtttx2)(21)0(,0)0(,1xxx0)0(,0)0(,)1(12xxxxrgvxxxx22,)0(0)0()1(12)1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx3)忽略项0)(tx不能忽略项忽略项0)(txvxxgx)0(0)0(tttx2)(2gvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭发射过程中引力m1g不变即x+rrvxxrxgrx)0(,0)0()(22原问题可以忽略项vtgttx221)(是原问题的近似解为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1)2)不能?vrtrxcc/,1）令grtrxcc/,2）令gvtgvxcc/,/23）令火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,cctttxxx/,/大体上具有单位尺度)1(项可以忽略cxx1,tx)1(项不能忽略林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学数学模型的matlab解法18.用量纲分析法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量，记水的流速，密度，比热c，粘性系数，热传导系数k，人体尺寸d，证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为kcdvdkh,，是末定函数，h定义为单位时间内人体的单位面