一维单原子链

1§3-2一维单原子链1Dmonatomicchain实际上，固体是由大量原子构成的三维复杂体系，要在理论上解决晶格振动问题，必须作近似处理。一维原子晶格的振动问题既简单、可解，又能反映晶格振动的基本特点。其主要方法和结论可以推广到三维情况。1.振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aµn-2µn-1µnµn+1µn+2m由于热运动，原子离开了平衡位置。设：第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量；第n个原子到第n+1个原子间相对位移为δ,则：δ=μn+1-μn；原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为V(a)；相对位移为δ时，两个原子相互作用势为V(a+δ)；将V(a+δ)在平衡位置用泰勒级数展开，可得：第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aµn-2µn-1µnµn+1µn+2m；，为常数其中，0)()(......)(21)()()()(222=+++=+=aaadrdVaVdrVddrdVaVaVrVδδδ由于考虑的是微振动，即δ很小，展开式可以近似保留到δ2项。10)(!...)(!2)()()(''2'+++++=+θθδδδδδ其中xfnxfxfxfxfnn即：只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：212)(221−−=≈∑nnnVμμββδ第n个原子所受的力：)2(11+−−−−=−≈∂∂−=nnnnVfμμμββδδβ是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定。a是两个原子间的平衡间距。若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力,为来自左边弹簧的张力β(μn-μn-1)与来自右边弹簧的张力β(μn+1-μn)之和。设向右边的为正，则第n个原子的运动方程为：)21.3(......)2()()(111122nnnnnnnndtdmμμμβμμβμμβμ−+=−−−=−+−+(2)振动方程和解2或写为:()112+−−−−=nnnnmμμμβμ设方程组的解为：)(naqtinAe−=ωμ[(1)]1[(1)]1itnaqnitnaqnAeAeωωμμ−−−−++==若有n=N个原子，上式代表N个方程[[[])(])1(])1()(22)(naqtiaqntiaqnqtinaqtiAeAeAeAeim−−−+−−−+=ωωωωβω将试探解代入振动方程:2sin4)cos22()]sin(cos)sin(cos2[22aqaqaqiaqaqiaqmβββω=−=−−+−=2sin2aqmβω=)cos1(212sin,cos2Aeeii−==+−θθθθ这里利用消去共同指数因子，得振动频率:)2(2−+=−−iaqiaqeemβω得到：此式与n无关，表明N个方程都归结为同一个方程。通常把频率ω与波矢q之间的关系，称为色散关系。]/22[)(qnatnaqtinAeAeππωωμ−−==已知连续介质中的机械波：(2)()xititqxyAeAeωπωλ−−==波数λπ2=q2.格波的意义：晶体中的格波：2qπλ=可见，格波和连续介质波具有完全类似的形式，一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动。波长3.波矢的取值和布里渊区相邻原子相位差aqaq+⇒π2原子的振动状态相同格波1的波矢aaq2421ππ==相邻原子相位差12aqπ=格波2的波矢aaq255/422ππ==222aqππ=+相邻原子的位相差两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同ππ≤−aqqaaππ−≤21π=aq222ππ+=aq因此，波矢的取值为：如上所示波矢的取值范围称为第一布里渊区。这个范围之外，不能提供其它不同的波。因此，只需要研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题就可以了。两种波矢q1和q2的格波中，相邻原子相位差:相位差改变了2π的整数倍，所有原子的振动完全相同，这表明aq可以限制在如下的范围内：5.玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样。实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述。N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点，N很大，原子运动近似为直线运动，处理问题时要考虑到环链的循环性。3则有nnNμμ=+][])([naqtiaqnNtiAeAe−+−=ωω要求1=−iNaqehNaqπ2=2,12,22,0,22,12NNNNNh−−+−+−=hNaq×=π2h为整数波矢的取值范围aqaππ≤−设第n个原子的位移nμ再增加N个原子之后第N+n个原子的位移nN+μ22NhN≤−aπ2NNaa=/2/2ππh—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值每个波矢在第一布里渊区占的线度为:Naqπ2=第一布里渊区的线度(即q空间的周期)为:第一布里渊区状态数为:hNaq×=π2波矢结论：晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目6.格波的色散关系)2(sin422aqmβω=)2sin(2aqmβω=一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qvpω=表面看来，对一个q应该对应±ω(q)两个频率，其实，由于ω是q的偶函数，只需要取（3.23）式的正根就足够了。因此，由q和-ω(q)确定的解与由-q和ω(q)=ω(-q)确定的解是同一个解。因此（3.23）式可以写为：)21sin()21sin(m2qaqamωβω==（3.29）频率极小值0min=ω频率极大值max2/mωβ=频率在之间的格波才能在晶体中传播其它频率的格波被强烈衰减。02/mωβ≤≤一维单原子晶体可以做低通滤波器。格波波长2qπλ=格波波矢2qnπλ=KK格波相速度qvpω=不同波长的格波传播速度不同7.格波的波速(1)长波极限（q→0）情况在q→0的长波近似下，相当于波长λa,由图可以看出，ω正比于q，即色散关系（3.23）式中,,2)2sin(qaqa≈一维单原子晶格格波的色散关系确实和连续介质中弹性波的色散关系ω=cq相同。qvqam1=≈βω则(3.30)oaπ−aπωm2β4弹性波相速度为：ρE1==vc弹性模量E=βα对于一维单原子晶格格波:密度am=ρqamβω=)30.3(式由格波的相速度为：(3.32)ρβωEmaqvp===0)1(⇒=−+qaqnaanq长波极限下0q⇒相邻两个原子振动相位差2/qλπ=→∞所以在长波近似下，一维单原子晶格格波可以看成弹性波，晶体可以看成连续介质。(2)短波极限（q→π/a）的情况色散曲线开始偏离直线向下弯曲。当q→π/a时，色散曲线变得平坦，在q=π/a时，对应着最大频率ωMax。格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致，不同频率的格波传播速度不同。短波极限下/qaπ⇒2/2qaλπ==相邻原子的振动相位相反8.原子位移和简正坐标的关系第q个格波引起第n个原子位移)(naqtiqnqqeA−=ωμ第n个原子总的位移∑∑−==qnaqtiqqnqnqeA)(ωμμ∑−=qinaqqneQNm1μtiqqqeANmQω=令1inaqnqqmeQNμ−=∑原子坐标和简正坐标的变换31NnnjjjmaQμ==∑线性变换为么正变换，满足：1inaqnqaeN−=*nqnqaa−=nqnjaa→q有3N个取值1inaqnqqmeQNμ−=∑其中动能和势能的形式：)()(*qQqQ−=inaqeN−1N项独立的模式1('),'01NinaqqqqneNδ−−==∑∑−=qinaqqneQNm1μ原子位移为实数正交性52.21∑=qqQ221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•nnmTμ∑••=qiqnaqntQNmt,)e(1)(μ∑∑∑′−′−′=nqqinaqq.qinaq.,tQtQNT)e()e(21∑∑∑′+′−′=qnqqinaqq.q.,NtQtQ)(e1)()(21∑∑′−′′=qqqqqqtQtQ,)()(21,..δ∑−=qqqtQtQ)()(21..∑=qqqtQtQ)()(21.*.)()(*tQtQqq=−动能的正则坐标表示：势能∑−=qinaqqneQNm1μ∑−−−='')1('11qaqniqneQNmμ∑−−=nnnU21)(21μμβ1(')'(')','01{[1]}()2NiaqqiaqiaqinaqqqqqqnUQQeeeemNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaqiaqqqeeQQmβ{1cos()}qqqQQaqmβ−=−∑代入上式，得：*{1cos()}qqqUQQaqmβ=−∑利用)}cos(1{22aqmq−=βω2*12qqqqUQQω=∑2221∑=qqqQUω系统势能所以2221∑=qqqQUω哈密顿量2221()2qqqqHTUQQω=+=+∑——系统复数形式的简正坐标tiqqqeANmQω=势能动能∑=qqQT2211()[()()]2Qqaqibq=+)]()([21)(*qibqaqQ−=∑=qqQT2212221∑=qqqQUω∑+=022)]()([21qqbqaT实数形式的简正坐标令∑+=0222)]()([21qqqbqaUω能量本征值qqnnqωε=)21(+=2()/exp()()2qqnqqnQHξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。哈密顿量:222220011[()()][()()]22qqqHaqbqaqbqω=+++∑∑6声子系综是无相互作用的声子气组成的系统，每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的，晶格振动的问题转化为声子系统问题的研究。9.声子晶格振动的能量量子；或格波的能量量子。一个格波也就是一种振动模式，称为一种声子。当这种振动模处于时，说明有个声子。qqnω=)21(+qnqω=声子具有能量、准动量，可以看作是准粒子，声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用。qG=模型运动方程试探解色散关系波矢q范围一维无限长原子链，m，a，β晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B--K条件波矢的数目()()11..+−−−−−=nnnnnmμμβμμβμ()naqtinA−=ωμe2sin2aqmβω=aqaππ≤−Nnn+=μμn-2nn+1n+2n-1ammoaπ−aπωm2β总结：本节研究思路