二次函数知识点总结(整理版)

1二次函数知识点总结1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。二次项系数0a2.二次函数的基本形式①二次函数最基本的形式：2yax的性质：★a的绝对值越大，抛物线的开口越小。②2yaxc的性质：是经2yax上下移动得到（即竖直在y轴方向移动）：上加下减③2yaxh的性质：是经2yax左右移动得到（即水平在x轴方向移动）：左加右减④2yaxhk的性质：3.关于平移“左加右减，上加下减”向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax24.二次函数顶点式2yaxhk与一般式2yaxbxc的区别与联系:区别：2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式；★联系：将一般式2yaxbxc转化成顶点式22424bacbyaxaa；其中顶点坐标可求2424bacbhkaa，．5.二次函数2yaxbxc图象画法：先定对称轴；再定开口方向；最后上下移动；★做题必须求出的4个点：①顶点2424bacbaa，②与y轴的交点0c，；（即当x=0时，求得y=c）③与x轴的交点10x，，20x，（即当y=0时，求得aacbbx242）6.2yaxbxc的性质:①当0a时，开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba．②当0a时，开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下0h，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．顶点（）顶点（）顶点（）顶点（）27.二次函数解析式的表示方法:1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.★怎样设二次函数解析式：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．1.已知抛物线上普通的3点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，因为抛物线的对称性，故常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.8、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a：二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．⑴当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．★a决定了开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反．3.常数项c：抛物线与y轴的交点⑴当0c时，与y轴交于x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c时，与y轴交于原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，与y轴交于x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．★总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．9.二次函数与一元二次方程：★一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数如下：①当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根：★aacbbx242．★A、B两点间的距离2214bacABxxa.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．★抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；▲▲▲解题思路总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：（6）关于x轴对称：2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；（7）关于y轴对称：2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；0抛物线与x轴有两个交点一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点一元二次方程无实数根.