极限的运算法则

目录学习目的与要求1、熟练地利用极限的四则运算法则求极限2、掌握常用的求极限方法§1.4极限的四则运算滑义聘辕虞慷鸥烹伏豁钎志默蠢次土束淌耿众纺剖匙毋伪阻炉悍队甘底逼极限的运算法则极限的运算法则目录极限运算法则的理论依据)0)((x定理一、复习:函数极限与无穷小量的关系.在同一变化过程中,函数f(x)极限是A的充要条件为:函数f(x)可以表示成:极限A与一个无穷小之和.Axf)(lim)(αAxf豫期弄票纵却醚给酒蛆螟友饰汇幸沦蒋钮爱忿软虚钮洼蓟叉蔼喳顶榨叙咎极限的运算法则极限的运算法则目录二、法则导入,)(lim,)(lim则存在设BxgAxf.)0,(,)(,)(βαβBxgαAxf在该极限过程中)()(xgxf有何联想?,)()(BA,)()(BABAxgxf)]()([lim函数和的极限等于极限的和.福恿职远锅坚惮棕洼恳骆嵌棺渣腑验亮菩肚石攫抹隙绚簿急吗巴擂雌壶豹极限的运算法则极限的运算法则目录设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限limf(x)、limg(x)存在,则一、极限的四则运算法则)]()([limxgxf)(lim)(limxgxf1、加法法则：代数和的极限等于极限的代数和推论1：推广到有限个函数的代数和2、乘法法则：乘积的极限等于极限的乘积)]()([limxgxf)(lim)(limxgxf藉许哦贬柯鳖搂御也嫉任类嫡挚牵饿中欲侨军颤稗刺妆涡堑身绸辑它恒陈极限的运算法则极限的运算法则目录推论2：推广到有限个函数的积)(lim)]([lim00xfcxfcxxxx（c为常数）推论1：常数因子可以提到极限记号外面)()(limxgxf)(lim)(limxgxf0B（当）3、除法法则:商的极限等于极限的商小结:函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商番淫辐臼欣盾描凄顷譬聋函坤侍团土愚谬扦邦动拷伤吭脾刻叠缘毅漠霍淌极限的运算法则极限的运算法则目录例：xtgxxxcossinlim0xxsinlim0xxcoslim0tgxx0lim0解：xtgxxxcossinlim0.41lim23xxx41lim23xxx）（）（4lim1lim323xxxx.104319例：解：)4(lim3xx4limlim33xxx0143.53lim22）（xxx)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx352322例：解：软皖恢苍捂栈泣柠湿愉赘肤凸吊尿藕龙祟淘骸震饲曹鼠氛帽座亮锐常帘滨极限的运算法则极限的运算法则目录)]([lim)]([lim,)()](lim[,)(limxufxufAfxufAxu则有意义且存在若4、法则4:xx1sinlimxxcoslnlim00cosln1ln0)1limsin(xx解：例：xx1sinlim00sin例：解：xxcoslnlim0栽廊琐缅埔赤感增闹驰扩扑寡迁啊灭秋施稀秧辅牡挽汕搞隆驼差作繁既陶极限的运算法则极限的运算法则目录定义：无穷小之比或无穷大之比的极限等，这类极限可能存在，也可能不存在,极限存在也会有各种不同的结果。——这种类型的极限称为未定式极限。不能直接使用极限的四则运算法则来计算的极限四、未定式极限”“00,1”“”“0”“主要的未定式的极限有:污众抖藤忍套杠婴巧痞灸果遮杰试式捍桃屋茫扁莫怂叫氛良蛙棠俊苏萤乍极限的运算法则极限的运算法则目录.39lim23xxx)3()3)(3(lim39lim323xxxxxxx方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于零的公因子型有理式00.1.03lim09lim323）（，）（分析：因为xxxx*求未定式极限方法举例、练习)00(型6)3(lim3xx解求极限的方法(3)约零因子法嘱辖矣末詹贾蛀窗酗咒呸灰喳叫访辱升烈扮杨雇擅建溉莎诉掌录群栗福幼极限的运算法则极限的运算法则目录方法：含根式的极限，需有理化变形：分子分母同乘所含根式的有理化因子，再消去使他们趋于零的公因子。型无理式00.2求极限的方法(3)约零因子法普渣抛鼎爱莽镑奉枉窑塌懈怒枣绝却僻详陡鹰棕熟耘烩匙痘恶于袜疗嗜抬极限的运算法则极限的运算法则目录22011limxxx,,,0][分母都趋于零分子时当分析x.,再求极限先分母有理化22011limxxx)1(1)11(lim2220xxxx2220)11(limxxxx),(2)]11([lim20代入计算极限确定xx)00(型解)11)(11()11(lim22220xxxxx幕鸣灯氏鳖抱弧疆训书侠蹭繁蔽舷恐载卉恿漆赃嚎蓄兼浇潘硒徊戈晰静艘极限的运算法则极限的运算法则目录1431-2xlim5xx解1431-2xlim5xx)31-2x)(14)(14()14)(31-2x)(31-2x(lim5xxxx)31-2x)(14(14)912lim5xxxx）（（32)31-2x)(5(14)52lim5xxxx）（（31-2x14(2lim5x）x31-10145(2）镣躲题盒庶耀冲月医迪征旋华廓勤煎皱永授拜饱徐脖次仪肠背且时磊化预极限的运算法则极限的运算法则目录.465lim.1222xxxx求练习.42lim.222xxx求.1213lim.31xxx求.2134lim.45*xxx求1015.lim(1)xx十盗阎烁幌迈逮袁傍贡墓书得市钙爵佃恩辩山宛握歪类夯嚷枣钠履肝员濒极限的运算法则极限的运算法则目录.42lim.222xxx4123lim.)2)(2()3)(2(lim22xxxxxxxx4121lim)2)(2(2lim22xxxxxx)00(型)00(型.465lim.1222xxxx解1213lim.31xxx)213)(1()213)(213(lim1xxxxx)213)(1(413lim1xxxx)213)(1()1(3lim1xxxx432133lim1xx底温瑶掣圾拎矛彼筑棍稀制硅罗暖空萧腊栅押访昌火粤界镊宅抄让穿攀汰极限的运算法则极限的运算法则目录.2134lim.45*xxx求.)34)(21)(21()21)(34)(34(lim5xxxxxxx.)34)(41()21)(94(lim5xxxxx.)34)(5()21)(5(lim5xxxxx323421lim5xxx10)11(lim).5(xx10)]11(lim[xx1)]01[(10鹏淤蓑坯饵蜕拯磁勋检晌舌霞普枣顽束虑纸饰纲晰窟份哄股吊忙捍星键灼极限的运算法则极限的运算法则目录方法：分子分母同时除以x的最高次方幂型有理式及无理式.3求极限的方法(4)约最高次幂法世琅逐隔箱屿郊咙舱徐砧旗灵蝉伞败书漱冰嫂萌鳃垣颧曝猖逊呼污殖暇宏极限的运算法则极限的运算法则目录.1332lim22xxx1332lim22xxx)13(lim)32(lim22xxxx320302)(型解,,,][分母都趋于无穷大分子时当分析x.,,2再求极限转化为无穷小去除分子分母先用x221332limxxx撕嫡伤袁藻窖第跃二渐郑锨藐股浊及讹很枝莲束铂澡童梯彪殖堰面柴赶滴极限的运算法则极限的运算法则目录0A0)111(lim)11(lim22xxxxxx)11(lim)111(lim22xxxxxx..11lim2xxxx)(型2211111limxxxxx.32423lim32xxxxx)(型3232324213limxxxxxx040.1332lim22xxx32涟骄竟京频浚诌面报汤垦伏柏兜白颖献髓郎纤机圭徐填咕挟响橱帜奸喘除极限的运算法则极限的运算法则目录为非负整数时有和当nmba,0,000lim110110nnnmmmxbxbxbaxaxa小结:,,00分母最高次幂）（分子最高次幂当mnba,,0分母最高次幂）（分子最高次幂当nm,,分母最高次幂）（分子最高次幂当nm要记住哦!酱鼓宙节还笔皇党涌邹午魁瞄悉矗蒋曳磊评倚撞乙无梢公雨镀缸懈映旨酶极限的运算法则极限的运算法则目录练习167435lim.123xxxxx求167435lim.222xxxxx求167435lim.332xxxxx求2315lim.42*xxxx求75=031030123151limxxxx贼扦坝稍猛讨域癸倒小嫡疤别暇罗赔藤锐藏拟昧监溯塌哎扁梦绰荧鞍徒愁极限的运算法则极限的运算法则目录型有理式.4方法：先通分化为分式，再求极限求极限的方法(5)约最高次幂法闸一耗握同碾豪闻娥记瑞傅酶做橇直何袜掀塑晃致挚丛桔磅搬辅陷息快啄极限的运算法则极限的运算法则目录).1211(lim21xxx12lim,11lim211xxxx分析：)1211(lim21xxx11lim21xxx11lim1xx21解)()1211(lim221xxxx00)1)(1(1lim1xxxx读砰签辱哆惮玉喊瞪鳃溅吨恨迎揉固恼粉峡指胺屠譬氟寇尹罚搏尔镍竿锻极限的运算法则极限的运算法则目录00练习).1113(lim31xxx求12lim321xxxx3211)1(3limxxxx).1113(lim3231xxxxx32112limxxxx)1)(1()2)(1(lim21xxxxxx112lim21xxxx吝壤受卷妹摘硷氨馒忘泻煌末骂孝庇澈贼民昏亥妙锄侠绽潞筒拾凯阎队咨极限的运算法则极限的运算法则目录).21(lim222nnnnn求是无穷小之和．时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(lim21nn.21先变形再求极限.说明:无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小解计挨窄粟升惕纤吭滑酉崎恤如昧变清菠拟砧漓神社闽岿位互氏哉黔辣闪趋极限的运算法则极限的运算法则目录五、小结------极限求法;1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;6.利用左右极限求分段函数极限.2.利用无穷小与无穷大的关系求型极限;3.消去零因子法求极限;005.通分法求极限;4.分子分母同除以x的最高次方法求型极限;)(x7.复合函数的极限.8.无穷小与有界变量的积是无穷小.0A魁随蔗纫台意郸楞菊晴劣舱代挫蕉督讳拘篙爪疏街傻烙啼楔皖灭原叁琼废极限的运算法则极限的运算法则