实变函数与泛函分析第四章习题1-181第四章习题1.在1中令1(x,y)=(xy)2,2(x,y)=|xy|1/2,,问1,2是否为1上的距离?[解]显然1,2满足距离空间定义中的非负性和对称性.但1不满足三角不等式:取点x=1,y=0,z=1,则1(x,z)=42=1(x,y)+1(y,z),所以1不是1上的距离。而x,y,z1,2(x,y)=||||2||||||||||yzzxyzzxyzzxyx||||)||||(2yzzxyzzx=2(x,z)+2(z,y);所以2是1上的距离.2.设(X,)是距离空间,令1(x,y)=nyx),(,x,yX.证明(X,1)也是距离空间.[证明]显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性,故只需证明1满足三角不等式即可.实际上x,y,zX,nnyzzxyxyx),(),(),(),(1nnnnnyzzxnzyxMyzzx)),(),((),,,(),(),(),(),(),(),(11yzzxyzzxnn.3.设(X,)是距离空间,证明|(x,z)(y,z)|(x,y),x,y,zX;|(x,y)(z,w)|(x,z)+(y,w),x,y,z,wX.[证明]x,y,z,wX,由三角不等式有(x,y)(x,z)(y,z)(x,y),故第一个不等式成立.由第一个不等式可直接推出第二个不等式:|(x,y)(z,w)||(x,y)(y,z)|+|(y,z)(z,w)|(x,z)+(y,w).4.用Cauchy不等式证明(|1|+|1|+...+|n|)2n(|1|2+|1|2+...+|n|2).[证明]在P159中的Cauchy不等式中令ai=|i|,bi=1,i=1,2,...,n即可.5.用图形表示C[a,b]上的S(x0,1).[注]我不明白此题意义,建议不做.6.设(X,d)是距离空间,AX,int(A)表示A的全体内点所组成的集合.证明int(A)是开集.[证明]若A=,则int(A)=,结论显然成立.若A,则xA,r0使得S(x,r)A.对yS(x,r),令s=rd(x,y),则s0,并且S(y,s)S(x,r)A;所以yint(A).故S(x,r)int(A),从而int(A)是开集.实变函数与泛函分析第四章习题1-1827.设(X,d)是距离空间,AX,A.证明:A是开集当且仅当A是开球的并.[证明]若A是开球的并,由于开球是开集,所以A是开集.若A是开集,xA,存在r(x)0,使得S(x,r(x))A.显然A=xAS(x,r(x)).8.举例说明对于一般的距离空间X,并不是总有),(),(rxSrxS,xX,r0.[例]设X={a,b},定义d:XX为d(a,a)=d(b,b)=0,d(a,b)=1.则(X,d)是距离空间.当r=1时,不论x为a还是b,总有),(}{),(rxSXxrxS.9.设(X,d)是距离空间,XBA,.证明:BABA,BABA.[证明]由于AA,BB,故BABA.由于A和B都是闭集,所以BA也是闭集,所以BABA.另一方面,由BABA,,得BABA,,所以BABA;这样就证明了第一个等式.由BABA,得BABA,,所以BABA。10.证明:距离空间中的闭集必为可列个开集的交,开集必为可列个闭集的并.[证明]由开集与闭集的关系,实际上我们只需证明第一部分即可.设(X,d)是距离空间,AX,A是闭集.若A=则结论显然成立,下面设A.n+,定义An=xAS(x,1/n),则An是开集,且AAn.因此AnAn.若xA,则由于A是闭集,N+,使得S(x,1/N)A=;即xAN,,所以xnAn.这样就证明了A=nAn.因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交.11.设(X,d)是距离空间,}{nx是基本列,且有收敛子列xxkn.证明xxn.[证明]0,由于}{nx是基本列,存在自然数N,当Nnm,时2),(nmxxd.由于子列xxkn,存在自然数K,当Kk时,Nnk且2),(xxdkn.当Nn时,因NnK1,故2),(1Knnxxd,2),(1xxdKn,从而),(xxdn.12.设在非空集合X上定义了两种距离d和1d,且存在正数a和b,使得对任意的x,yX总有ad1(x,y)d(x,y)bd1(x,y).证明:在距离空间(X,d)和(X,d1)中,基本列与收敛点列是共同的.并举出这种空间的例子.[证明]设{xn}是(X,d)中的基本列,则对0,N+,当m,nN时d(xm,xn)a.此时有d1(xm,xn)d(xm,xn)/aa/a=,所以{xn}也是(X,d1)中的基本列.相反方向的证明是类似的.关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似.一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X,d)中定义新的距离d1,实变函数与泛函分析第四章习题1-183使得d1=2d.13.设X是正整数集合,令d(x,y)=|x–y|,,证明(X,d)是完备距离空间.[证明]首先从距离定义看,(X,d)实际上是1的子空间,当然是距离空间.因1是完备的,而X又是1中闭集,所以(X,d)是完备距离空间.14.设X是正整数集合,令d(x,y)=|1/x–1/y|,证明(X,d)不是完备距离空间.[证明]首先直接验证可知(X,d)是距离空间.n+,设xn=n.则{xn}是(X,d)中的基本列.若{xn}收敛于xX,则d(xn,x)0,即|1/xn–1/x|0(当n时).由此推出1/x=0,而这是不可能的.所以基本列{xn}不收敛,因此(X,d)不是完备距离空间.15.证明:离散距离空间(X,d)是完备距离空间.[证明]设}{nx是(X,d)中的基本列,则存在自然数N,当Nnm,时1),(nmxxd.由离散距离空间定义知,0),(nmxxd,所以应有nmxx;即从1N项开始}{nx为常序列,因此}{nx必为收敛列.所以(X,d)是完备距离空间。16.证明:c是可分的完备距离空间.[证明]首先证明c是完备距离空间.设}{nx是基本列,0,存在自然数N,当Nnm,时),(nmxxd.记)()(ninx,则||)()(mini,(1i).可见对1i,数列}1|{)(nni是1R中的基本列,因此设inni)(,并记)(ix.显然当Nn时,1i有||)(ini,取1Nn则1i有||)1(iNi.由于)()1(1NiNx是收敛列,存在NM使得当Mnm,时,||)1()1(NmNn.此时3||||||||)1()1()1()1(mNmNmNnNnnmn.故)(ix是1R中的基本列,所以cx.由前面可见,0,存在自然数N,当Nn时1i有||)(ini,故有||sup)(1inii,即),(xxdn,所以基本列}{nx是收敛的.下面证明c是可分的.在c中,令}|)({NiiiNiNxA有使得为有理数,存在自然数.则A显然为可数集,且A在c中稠密,所以c是可分的.17.证明:s是可分的完备距离空间.[证明]首先证明s是完备距离空间.设}{nx是基本列,0,存在自然数N,当Nnm,时),(nmxxd.实变函数与泛函分析第四章习题1-184记)()(ninx,容易看出1i,数列}1|{)(nni是1R中的基本列,因此设inni)(,并记)(ix.注意1)()()()(||1||21iminiminii,故Miminiminii1)()()()(||1||21(对任意自然数M).令m得到Miiniinii1)()(||1||21,(对任意自然数M).所以有),(xxdn.即基本列}{nx是收敛的.下面证明s是可分的.在s中构造A如下:}0|)({不为为有理数,只有有限项iixA.显然A为可数集,且A在s中中稠密,所以s是可分的.18.从集合的角度看,ms,但s是可分的而m不是可分的,这能给我们什么启迪?[答]距离空间的可分性除了依赖于集合本身外,更重要的是依赖于集合上所给出的距离,仅对集合而言是谈不到什么可分不可分的.19.证明:)1(plp中的集合A是列紧集的充要条件是下面两条同时成立:1)存在0K,使得对任意的Axi)(有Kipi1||,2)对任意的0,存在自然数N,使得对任意的Axi)(有pNipi1||.[证明]若A是列紧集,则A是全有界集,第一个条件显然成立.设}1|)({)(mnxnin是A的有限2网,则存在自然数N使pNipni)2(||1)(,对mn,,2,1.对Axi)(,存在mnn001:,使得2),(0xxdn.那么2),()||()||()||(00011)(11)(11xxdnpNipinpNipniipNipi,从而第二个条件成立.反过来,假设集合A满足这两个条件,设},2,1|)({)(nxnin是A中任意一个点列,由第一个条件,对任意的,2,1i,数集}{)(ni有界,存在自然数列的子列}{1kn使}{)(11kn收敛于1.又存在}{1kn的子列}{2kn使}{)(11kn收敛于2,等等如此下去.令)()(jjjjninx,利用第二个条件容易证明}{jjnx是基本列.令)(ix,利用第一个条件可以证明plx,并且}{jjnx收敛于x.即可在},2,1|)({)(nxnin中选出收敛子列,所以集合A是列紧集.20.证明:s中的集合A是列紧集的充要条件是:对任意自然数i,存在0ic使实变函数与泛函分析第四章习题1-185得,对任意的Axi)(有iic||.[证明]若存在自然数i,对任意的0M,存在Axi)(使得Mi||.这样就可以做一个A中的序列)()(ninx使得nni||)(.若}{nx有子列}{knx收敛,设其极限为)(iy,则因021||1||21)()(iiniiniikk,所以),(yxdkn不收敛于零,得到矛盾,所以}{nx没有收敛子列,即A不是列紧集,必要性得证.下面证明充分性.设对任意自然数i,存在0ic使得,对任意的Axi)(有iic||.设}{nx是A中任一序列,存在}{nx的子列)}({)1,(1,ninx使1)1,(1n,下一步,存在}{1,nx的子列)}({)2,(2,ninx使得2)2,(2n,依次做下去;然后考虑}{nx的子列}{,nnx,则它的第i个坐标收敛于i.令}{iy,显然}{,nnx收敛于sy.所以A是列紧集.21.设(X,d)是距离空间,AX,令f(x)=Ayinfd(x,y),xX.证明f是连续函数.[证明]x1,x2X,0,y1,y2A,使得d(x1,y1)f(x1),d(x2,y2)f(x2).由于d(x1,y1)f(x1)d(x1,y2),d(x2,y2)f(x2)d(x2,y1),我们有f(x1)f(x2)d(x1,y2)(d(