自动控制原理第5章讲解

第5章频率特性法(Frequency-ResponseAnalysis)5-4频域实验法确定系统的传递函数5-1频率特性的概念5-3最小相位系统5-2频率特性图5-5控制系统稳定性分析5-6频率特性与系统性能关系5-7闭环系统的频域性能指标用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法称作频率特性法，它是一种图形与计算相结合的方法。在工程实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。5-1频率特性的概念T=RCurRCuc以R-C网络为例，导出频率特性rccuutuTdd系统的微分方程：系统的传递函数：11)()(TssUsUrc当输入tAursin22)(sAsUr系统输出：2211)(11)(sATssUTssUrc系统输出响应：)arctansin(1e12222TtTATTAuTtc式中第一项：瞬态分量第二项：稳态分量时瞬态分量趋于零t)arctansin(1lim22TtTAuct则♦稳态输出的频率与输入信号的频率相同；♦稳态输出的幅值与输入信号的幅值比1122T♦稳态输出的相位与输入信号的相位差tarctan稳态输出与传递函数关系11)(TssGjstjeTTjjGarctan221111)(t0ur(t)uc(t)ur(t)uc()Gs()iXs0()Xs设线性定常系统输入()siniimxtXtimX输入正弦信号幅值输入正弦信号频率系统的稳态输出：00()sin()mxtXtsj令则有()()sjGsGj0()mimXGjX输出输入正弦幅值比：输出输入正弦相位差：()()Gjtt定义:系统的幅频特性：系统的相频特性：频率特性与表征系统性能的传递函数之间有着直接的内在联系，且有明确的物理意义（幅比和相差）。故可由频率特性来分析系统性能。第一节频率特性的基本概念系统的频率特性：G(jω)=G(s)S=jωjG(jω)=|G(jω)|e=A(ω)ejφ(ω)A(ω)=|G(jω)|=φ(ω)G(jω)频率特性还可表示为(代数形式)：第一节频率特性的基本概念jφ(ω)G(jω)=A(ω)e=P(ω)+jQ(ω)P2(ω)+Q2(ω)√A(ω)==tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)注意：1、系统的频域特性与傅氏变换后的频域的关系？()Gs()Gjwsjw()gt脉冲响应函数！！！2、频域特性的物理意义具有普适性。二频率特性的几何表示法频域分析法是一种图解分析法，常见的频率特性曲线有以下三种。2．幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线.幅相频率特性曲线也称极坐标图。1．幅频、相频特性曲线0Reω∞Imωω=03．对数频率特性曲线对数频率特性曲线又称伯德图.由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线组成。对数幅频特性曲线的横坐标采用lgω分度。纵坐标为L(ω)=20lgA(ω)单位为dB频率变化十倍，称为十倍频程，记作dec.对数相频特性曲线的横坐标也是lgω分度，-20dB/dec-40dB/dec-20dB/decL(ω)=20lgA(ω)/dB-400-202040-1800-901100.1ω1100.1ω纵坐标则表示为Φ(ω)。注意：后两种在自控系统中常用；()3sin2ixtt例5-1图示控制系统当输入时，求系统的稳态输出。解系统闭环传递函数：0()1()()2BiXsGsXss频率特性：()()arctan2BGj0221()()2mBimXAGjX正弦输入下的稳态输出：0()()sin()simBBxtXGjtGj由23imX则0003()sin(245)221.061(245)sxttt第五章频率特性法第二节系统频率特性图频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具有一些明显的优点.一、典型环节的频率特性二、控制系统开环频率特性G(jω)=KA(ω)=Kφ(ω)=0o一典型环节的频率特性1．比例环节0KReIm比例环节的奈氏图(1)奈氏图奈氏图是实轴上的K点。G(s)=K传递函数和频率特性幅频特性和相频特性第二节典型环节与系统的频率特性比例环节的伯德图对数幅频特性：对数相频特性：(2)伯德图L(ω)=20lgA(ω)=20lgK=0o=tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)第二节典型环节与系统的频率特性L(ω)/dB10.1ω20lgKω10.1φ(ω)比例环节的对数幅频特性图是一条与横轴平行的直线，与横轴的高度相距20lgK；比例环节的对数相频特性图是一条与横轴重合的直线。2．积分环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性(1)奈氏图积分环节奈氏图G(s)=1SG(jω)=1jωA(ω)=1ωφ(ω)=-90o第二节典型环节与系统的频率特性ReIm0ω=0∞积分环节的幅相频特性图是虚轴原点以下部分，由无穷远处指向原点。(2)伯德图对数幅频特性：对数相频特性：积分环节的伯德图L(ω)=20lgA(ω)=-20lgωφ(ω)=-90o第二节典型环节与系统的频率特性Φ(ω)ω10.1100-90L(ω)/dB10.1ω10020-2040-20dB/dec积分环节的对数频率特性图是一条斜率为-20dB/dec、且通过0dB线上ω=1点的直线；微分环节的相频特性图是通过纵轴上-90°点且与横轴平行的直线。3．微分环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性(1)奈氏图微分环节奈氏图G(s)=SG(jω)=jωA(ω)=ωφ(ω)=90o第二节典型环节与系统的频率特性ReIm0ω=0∞微分环节的幅相频特性图是虚轴原点以上部分，由原点指向无穷远处。(2)伯德图微分环节的伯德图对数幅频特性：对数相频特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωφ(ω)=90o第二节典型环节与系统的频率特性20dB/dec020-2010.1ω10L(ω)/dBΦ(ω)ω10.110090微分环节的对数频率特性图是一条斜率为20dB/dec、且通过0dB线上ω=1点的直线；微分环节的相频特性图是通过纵轴上90°点且与横轴平行的直线。4惯性环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性G(s)=1Ts+1G(jω)=1jωT+1A(ω)=11+(ωT)2φ(ω)=-tg-1ωT绘制奈氏图近似方法:根据幅频特性和相频特性求出特殊点,然后将它们平滑连接起来.ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-90o惯性环节的幅相频特性图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0o取特殊点：1ω=TA(ω)=0.707φ(ω)=-45o可以证明：惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。ReIm0ω∞ω=01ω=T-45（1）奈氏图对数幅频特性：22()20lg()120lg()120lg()1LGjTT1/T2()1T()20lg10LdB在ω1/T频段,可用0dB渐近线近似代替。-20020T110T110TωL(ω)dB渐近线1/T2()1T2()20lg()120lgLTT在ω1/T频段,可用-20dB/dec渐近线近似代替。渐近线-20dB/dec转折频率低频渐近线和高频渐近线的交点频率ω=1/T称为转折频率。精确曲线渐近线所产生的最大误差值为：2(1/)20lg()13.03LTTdB对数相频特性：()()arctanGjT00(0)01/T0(1/)45T0()90ω0-45-90φ(ω)惯性环节的伯德图(2)伯德图5．一阶微分环节传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：G(s)=1+TsG(jω)=1+jωTA(ω)=1+(ωT)2φ(ω)=tg-1ωT(1)奈氏图1ReIm0∞ω=0一阶微分环节奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=∞A(ω)=∞φ(ω)=90o第二节典型环节与系统的频率特性(2)伯德图对数幅频特性：L(ω)=20lg1+(ωT)2一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比,所以它们的伯德图对称于横轴.G(jω)=1+jωT1+jωTG(jω)=1L(ω)=20lg1+(ωT)21一阶微分环节的伯德图L(ω)/dB-20020T110T110Tω渐近线精确曲线ω45090φ(ω)第二节典型环节与系统的频率特性6．振荡环节传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：φ(ω)=-tg-1ωn2-ω22ζωnω第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=s2+2ωn2ζωns+ωn2G(jω)=ωn2ωn2-ω2+j2ζωnωA(ω)=(ωnωn22-ω2)2+(2ζωnω)2=(1-ωω2ωn1)222n)2+(ζωω=ωnωωn?振荡环节的奈氏图ReIm0-j/2ξξ=0.6ξ=0.41ξ=0.8ω=0ω∞0()1Gj0()0Gj1/T()1/2Gj0()90Gj()0Gj0()180Gj♦振荡环节的奈氏图始于正实轴的(1,j0)点，顺时针经第四象限后交负虚轴于(0,-j/2ξ)点，然后图形进入第三象限，在原点与负实轴相切并终止于原点。图形特点：♦振荡环节的幅相频特性曲线因ξ值的不同而不同，但形状类似。(1)奈氏图幅频特性：222222222()()(2)12(1)()nnnnnA对数幅频特性：22222()20lg(1)()nnL1/nT/0n()20lg10LdB振荡环节的低频渐近线是一条0dB水平直线。1/nT22()20lg40lg40lg40lgnnnL高频渐近线是斜率为-40dB/dec的直线1T1nT两渐近线的交点在n转折频率222()arctan()nn00()01/T0()90Gj0()180Gj对数相频特性：振荡环节伯德图精确曲线从图可知,当ξ较小时，对数幅频特性曲线出现了峰值，称为谐振峰值Mr，对应的频率称为谐振频率ωr。(2)伯德图dA(ω)dω=0ωr=ωn1-2ξ2(0≤ξ≤0.707)Mr=A(ωr)=2ξ1-ξ21可求得代入得精确曲线与渐近线之间存在的误差与ξ值有关，ξ过大或过小，误差都较大，曲线应作出修正。(7)延迟环节时滞环节的奈氏图是一个单位圆10ReImω=0()sGse()jGje()()1AGj()()Gj(1)奈氏图延迟环节的伯德图φ(ω)=-τωL(ω)=20lg1=0L(ω)/dBω0φ(ω)ω1100-100-200-300频率特性：对数幅频特性：对数相频特性：（2）伯德图()()1AGj()()Gj常用典型环节伯德图特征表20sφ(ω)特殊点斜率(dB/dec)传递函数环节s2+2ωnζωns+ωn221+τs0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKL(ω)=0ω=1,T1ω=转折频率转折频率1ω=τ转折频率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例积分重积分惯性比例微分振荡00，-20-20-400，200，-40微分L(ω)=0ω=1,-90o二、控制系统开环频率特性频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能,这样可以简化分析过程.所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要.下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制.第二节典型环节与系统的频率特性1系统开环幅相频特性图控制系统的开环频率特性一般具有基本环节相乘的形式。即kiikjGjGjGjGjG121)()()()()(或表示成：kijGjikiijGjG1)