第五章运动学基础

理论力学电子教程第五章运动学基础一、运动学任务二、明确两个基本概念第二篇运动学1.点和刚体运动的描述(运动方程);2.点的运动特征量(轨迹,速度和加速度);3.刚体运动特征量(角速度和角加速度)。1.物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而言的；2.运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间隔。理论力学电子教程第五章运动学基础三、要求1.能选用合适的方法描述点的运动和刚体的基本运动。能熟练的计算速度和加速度、角速度和角加速度；2.能正确的分析刚体的平面运动,能熟练地确定速度瞬值，计算刚体角速度,熟练的选用不同的方法求平面图形上各点的速度和角速度；3.正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法求点的速度和加速度。四、难点和重点1.点的合成运动；2.刚体的平面运动。理论力学电子教程第五章运动学基础第五章运动学基础第一节运动学基本概念第二节点的运动学第三节刚体的基本运动理论力学电子教程第五章运动学基础第一节运动学基本概念运动学只从几何学的观点来研究物体运动的规律，而不涉及引起运动的物理原因。一、点与刚体点：没有大小的几何点。刚体：在任何情况下保持其形状和大小不变的物体。二、参考体与参考系参考体:由于物体在空间的位置只能相对地被描述，故要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不变形的物体作为参考体。如:书和黑板擦放在讲台上,书在运动,选黑板擦为“参考体”。理论力学电子教程第五章运动学基础参考坐标系:固连于参考体上的一组任选的参考坐标系（简称参考系）。若某一物体相对参考坐标系是静体,则对于此坐标系来说,物体静止；反之运动。固定坐标系:一般将固连于地球上的坐标系称为固定参考坐标系,通常也称为静坐标系。说明一点：古典力学认为时间和空间的度量对于所有参考系都是一样的，且将时间视为连续的自变量。三、瞬时与时间间隔瞬时：对应于某一事件发生或终止的时间。如上课开始时。理论力学电子教程第五章运动学基础时间间隔:两个瞬时之间的时间数。如上课开始与结束之间的时间数为50分钟。四、轨迹动。轨迹:,点在空间运动所经过的路线。直线运动曲线运理论力学电子教程第五章运动学基础第二节点的运动学决定点的运动,就是确定动点在参考系中每一瞬时的位置。并由此求点的速度和加速度。基本方法:（1）矢量表示法；（2）直角坐标表示法；（3）弧坐标表示法。理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础2、速度若点运动位置为r=r(t)则速度就可用矢径对于时间之变化率来表示r?rr平均速度v*??t当tt:Mt+t:M'?r?r(t??t)?r(t)?MM?Mr(t)orvM'v'r(t+t)0MM'=MM'理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础瞬时加速度rr2r?vdvdrra?lim??2x?0?tdtdt单位:m/s2,cm/s2。动点的加速度等于动点的速度对于时间的一阶导数；或等于动点的矢径对于时间的二阶导数。说明:(1)点的速度方向即为轨道曲线上的切线方向,一般说点的运动方向指的是速度方向。(2)瞬时加速度方向沿着动点的速度端图的切线方向。理论力学电子教程第五章运动学基础二、点的运动的直角坐标表示法1、运动方程与轨迹方程点在空间的任一瞬时的位置由x、y、z来确定，其运动方程为?x?f1(t)??y?f2(t)?z?f(t)3?直角坐标运动方程一般含时间t，而轨迹方程通常通过消去运动方程中的时间t得到。理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础rrrrdxrdyrdzrrdrv??i?j?k?vi?vj?vkdtdtdtdt相对应的有dxdydzvx?,vy?,vz?dtdtdt动点的速度在坐标上的投影，分别等于动点的各位置坐标对于时间的一阶导数。?222?dx??dy??dz??v?vx?vy?vz??????????dt??dt??dt??v?cos(v,i)?x?v222理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础s是代数量，称为动点M的弧坐标或自然坐标。这样，动点沿已知轨迹的运动可用一时间t的连续函数来表示：s=f(t)即为点的弧坐标形式的运动方程。这种用点的轨迹和弧坐标来研究点的运动的方法，称为弧坐标法，也称为自然法。2、速度经过?t时间,点沿轨迹由M到M‘，矢径有增量Δr，则理论力学电子教程第五章运动学基础v??r?r?s?limt?0?t??limt?0(?s??t)??s?rd?limt?0?t??limt?0?s?sdrdt?ds?dsdt?τ?v?τ3、加速度2a?dvdt?ddt(vτ)?dvdt?τ?v?dτdt?dsdt2?τ?v?dτdt(1)切向加速度（表示速度大小的变化）2at?dvdtτ?dsdt2?τ理论力学电子教程第五章运动学基础(2)法向加速度（表示速度方向的变化）an?vdτdt?v?τ?τ?s?limt?0?t?v??limt?0(?s??t)?v2??τ?limt?0?s(?lim?st?0?t?dsdt?v)理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础4、密切面与自然轴系理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础显然b?τ?n以M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础（2）用直角坐标表示。建立如图的直角坐标系，则有x=Rcos?,y=Rsin?将?=2t2代入,则有x=50cos2t2,y=50sin2t2yMyRo?xx理论力学电子教程第五章运动学基础例5-2椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动,其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接,而规尺AB的两端A、B分别在相互垂直的滑槽中运动,如图示。试求规尺上点M的运动方程和轨迹。已知OC=AC=BC=L，MC=a,?=ωt。y【解】求M点的运动轨迹，必须先用坐标法给出它的运动方程，然后从运动方程中消BCMO去时间t，得到轨迹方程。?xy?Ax理论力学电子教程第五章运动学基础由图示得M点的运动方程为x?(OC?CM)cos??(l?a)cos?ty?AMsin??(l?a)sin?ty在上述方程中消去时间t，得Bxy??122(l?a)(l?a)O22CM?xy?Ax理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础ax?dvx?2advdty?ydt?6t即a?a22x?ay?4?36t2又3a?dv8t?36t?dt?24t2?9t4当x=1,y=1时,即t2=1,t3=1,t=1(秒)理论力学电子教程第五章运动学基础故v1?4?9?13(cm/s)a21?4?36?210(cm/s)at1?8?3624?9?22/13(cm/s2)则2aa2?a2t1?40?2262n1?113?13(cm/s)??v21311/an1?613?7.81(cm)理论力学电子教程第五章运动学基础解题要点(一)确定研究对象由题意,确定所要研究的动点(或刚体上一点)为研究对象。(二)选择坐标系1.如轨迹未知或轨迹为直线,应考虑用直角坐标法求解。2.如轨迹为已知曲线,常采用自然法求解。无论用什么方法,均要明确坐标系是固定在什么物体上。(三)运动分析1.建立点的运动方程分两步：（1）确定点运动的初始位置，然后将动点放在任意位置，用适当的参数表示点的位置.，所选参数应与时间有关。理论力学电子教程第五章运动学基础（2）代入时间t，求出坐标与时间t的函数关系，就得到动点在空间的几何位置随时间t的变化关系,即运动方程。2.求点的轨迹方程将点的运动方程中的时间t消去，即得到动点的坐标之间的函数关系，即动点的轨迹方程。3.求点的速度,加速度及曲率半径（1）由对运动方程求导,可得速度和切向加速度,法向加速度用公式计算，进而可得全加速度。（2）求曲率半径?，要联合应用直角坐标法与自然法,具体思路如下：理论力学电子教程第五章运动学基础理论力学电子教程第五章运动学基础(四)建立方程求解根据运动分析的结果,确定解题方法,建立有关方程式，进行求解。理论力学电子教程第五章运动学基础例5-4如图所示，摇杆机构的滑杆AB以匀速u上升，并通过滑套A带动摇杆OC绕O轴转动。试建立摇杆OC上点C的运动方程，并求此点在?＝?/4时速度的大小。假定初瞬时，?＝0，摇杆长OC＝a，距离OD＝l。yaCA?Dxl理论力学电子教程第五章运动学基础【解】因为xc?acos?,yc?asin?而，llcot???ADut?al?l??所以xc?asin?arccot????222?ut???l?ut??aut?l???l???2?yc?asin?arccot????a?1?cos?arccot?????222ut?ut???????l?ut??C点的速度在x、y方向坐标轴上的投影分别为vcxdxcdycalu2taul2???,vcy??3322222222dtdtl?utl?ut????当???4时，?t?l代入上式，由理论力学电子教程第五章运动学基础?2?au??2l2?dxc??dycvc??????dt??dt理论力学电子教程第五章运动学基础例5-5如图所示，已知?＝?t，M沿OA和半径为R的大圆弧滑动；求分别用直角坐标法和弧坐标法给出M的运动方程，并求出M点的速度和加速度。yBM?AO?Ox1RC理论力学电子教程第五章运动学基础【解】1.设直角坐标系Oxy如图，则M的运动方程为x?R?Rcos2ωty?Rsin2ωt速度和加速度v?x?x??2?Rsin2?ta?2x?xx??4?Rcos2?tv?y?y?2?Rcos2?ta?y?vy??4?2Rsin2?tyBM?AO?Ox1RC理论力学电子教程第五章运动学基础2.设弧坐标正方向如图，则运动方程、速度、加速度为&s?2R?t,v?s?2R?,v2&a??v?0,a?an??4RωR当M在图示位置时，速度、加速度各分量的方向如图所示。2vvyvxMaxMaay理论力学电子教程第五章运动学基础【思考题】1.选择题（1）动点作匀速曲线运动是指()DA.点的加速度大小a??常量B.点的加速度a??常量C.点的切向加速度大小a??常量D.点的切向加速度a???常量理论力学电子教程第五章运动学基础(2)已知点沿其轨迹的运动方程为s=b+ct，式中b、c均为常量，则()CA.点的轨迹必为直线B.点的轨迹必为曲线C.点必作匀速率运动D.点的加速度必等于零an?0，点做何种运动(3)动点在运动过程中，恒有a??常量，()BA.加速曲线运动B.匀变速曲线运动C.变速直线运动D.匀变速直线运动理论力学电子教程23第五章运动学基础(4)已知点的运动方程为x?2t?4,y?3t?3，其轨迹方程为()BA.3x?4y?36?0B.3x?2y?18?0C.2x?2y?24?0D.2x?4y?36?0动点M沿螺线自外向内运动，若点一次方成正比，则该点()AA.加速度越来越大B.加速度越来越小C.越跑越快D.越跑越慢M走过的弧长与时间的(5)理论力学电子教程第五章运动学基础2.已知动点的运动方程为x?2t，y?t2其中长度以m计，时间以s计。求运动开始时，点的切向加速度和法向加速度，以及轨迹在初始位置的曲率半径。?a??0,an?2ms,??2m?理论力学电子教程第五章运动学基础3.小环M同时套在细杆OA和半径为r的固定圆圈上，如图所示。细杆OA绕大圆圈上的固定点O转动，它与水平直径的夹角?＝?t，其中?为常数。试求小环M的运动方程以及它的速度和加速度。yMA?OO1Rx理论力学电子教程第五章运动学基础第三节刚体的基本运动本节研究刚体的两种基本运动，即刚体的平行移动和绕固定轴转动，它们是研究刚体复杂运动的基础。一、刚体的平行移动1.刚体平移的定义在运动过程中，若刚体上任一直线与其初始位置始终保持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平移或移动。例如，电梯的升降运动，在直线轨道上行驶