数学建模案例之多变量最优化

精心整理精心整理数学建模案例之多变量无约束最优化问题1[1]：一家彩电制造商计划推出两种产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价（MSRP）为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？1．问题分析、假设与符号说明这里涉及较多的变量：s：19英寸彩电的售出数量（台）；t：21英寸彩电的售出数量（台）；p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；C：生产彩电的成本（美元）；R：彩电销售的收入（美元）；P：彩电销售的利润（美元）精心整理精心整理这里涉及的常量有：两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元，成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。变量之间的相互关系确定：假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。因此，19英寸彩电的销售价格为：p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.0121英寸彩电的销售价格为：q=399-0.01×t-0.04×s因此，总的销售收入为：R=p×s+q×t生产成本为：C=400000+195×s+225×t净利润为：P=R-C因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。2．建立数学模型根据前面的分析，原问题的数学模型如下：精心整理精心整理max(,)..(,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225)0,0PststPstastssttstst（1）3．模型求解3.1求解方法（1）求出驻点（s0，t0），即解方程组（2）判断是否在驻点处取得极值，方法如下：1）先计算2）若120,0DD，则（s0，t0）是极小值点；若120,0DD，则（s0，t0）是极大值点；若20D，则（s0，t0）不是极值点；若20D，则不能肯定（s0，t0）是不是极值点，必须考察更高阶的偏导数。3.2计算结果（1）利用Matlab计算出驻点为：（4735.04，7042.7）,其中a=0.01；（2）利用Matlab计算出D1=-0.020，D2=0.0003510，因此P(s,t)在（4735，7043）处取得极大值：553641美元。（3）辅助数据：p=270.52；q=309.63；C=2907950；利润率=0.190389。3.3结果解释简单地讲，这家公司可以通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润是553641美元。19英寸彩电的平均售价为270.52美元/台；21英寸彩电的平均售价为精心整理精心整理309.63美元/台；生产的总成本为2907950美元；相应的利润率为19.0389%。根据以上结果显示了是有利可图的，因此建议这家公司的推出新产品计划应该实行。图形显示见下图。图1彩电问题4．灵敏性分析在报告结论之前，应该对关于彩电市场和生产过程所作的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳定性。我们主要关心的是决策变量s、t的值，因为公司据此来确定生产量。在前面的计算中，我们假设a=0.01美元/台，下面考虑当19英寸的彩电的价格弹性系数a发生微小的变化时，公司的生产量以及利润将如何变化。4.1产量对a的灵敏性分析(,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225)Pstastssttst（2）它的驻点为：1662000()4000049581700()87004000049saataa（3）由（2）可得，19英寸彩电的价格弹性系数a的增加，会导致19英寸彩电的最优生产量s(a)的下降，而21英寸彩电的最优生产量t(a)会增加，见图2。图2s和t关于a的变化的灵敏性曲线我们计算得到灵敏性的具体数值（其中a=0.01,s=s(a),t=t(a)）：因此，如果19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，则应该将精心整理19英寸彩电的生产量减少11%，21英寸彩电的生产量增加2.7%。4.2利润对a的灵敏性分析为了得到利润P(s,t)对于a的灵敏性，将（3）带入（2）,可得P(a):灵敏性计算结果为（其中a=0.01,P=P(a)）：因此，19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，会使利润下降约4%，见图3。图3利润P关于a的灵敏性曲线5．参考资料[1]MarkM.Meerschaert.数学建模方法与分析，北京：机械工业出版社，20056．附录1．模型求解结果symsst;P=(339-0.01*s-0.003*t)*s+(399-0.004*s-0.01*t)*t-(400000+195*s+225*t);Ps=diff(P,s);Pt=diff(P,t);A=solve(Ps,Pt);s0=double(A.s);t0=double(A.t);Pss=diff(Ps,s);Pst=diff(Ps,t);Pts=diff(Pt,s);Ptt=diff(Pt,t);Jd=[PssPst;PtsPtt];D1=subs(subs(Pss,s,s0),t,t0);D2=double(det(Jd));Pmax=subs(subs(P,s,s0),t,t0);%%绘制利润函数的图形精心整理%h1=figure[X,Y]=meshgrid(0:10:10000,0:10:10000);Z=(339-0.01*X-0.003*Y).*X+(399-0.004*X-0.01*Y).*Y-(400000+195*X+225*Y);mesh(X,Y,Z)XLabel('19英寸彩电数量（台）')YLabel('21英寸彩电数量（台）')ZLabel('利润(元)')boxongridon%%绘制等值线%h2=figurecontour(X,Y,Z)XLabel('19英寸彩电数量（台）')YLabel('21英寸彩电数量（台）')2.灵敏性程序%%第3讲案例1:灵敏性分析%%symsast;P=(339-a*s-0.003*t)*s+(399-0.004*s-0.01*t)*t-(400000+195*s+225*t);dPs=diff(P,s);dPt=diff(P,t);A=solve(dPs,dPt,s,t);%求驻点sa=A.sta=A.tPa=subs(subs(P,s,sa),t,ta);dsa=diff(sa,a);dta=diff(ta,a);dPa=diff(Pa,a);%%灵敏性值%Ssa=subs(dsa,a,0.01)*0.01/subs(sa,a,0.01)Sta=subs(dta,a,0.01)*0.01/subs(ta,a,0.01)SPa=subs(dPa,a,0.01)*0.01/subs(Pa,a,0.01)%%绘制s,t对a的灵敏性曲线%拷贝sa,st到函数fplot中%精心整理h1=figuregridonholdonfplot('1662000/(-49+40000*a)',[0.0050.02],'ro-');fplot('48000*(-21+7250*a)/(-49+40000*a)',[0.0050.02],'b*-');legend('sa：19寸彩电产量变化','ta：21寸彩电产量变化',1)XLabel('参数a的变化：[0.0050.02](单位：元/台)')YLabel('产量sa,ta(单位：台)')title('产量s和t关于参数a的灵敏性曲线')holdoff%gridoff%%计算并绘制利润率对参数a的灵敏性曲线%拷贝Pa到函数fplot中%h2=figuregridonfplot('16000*(892250*a+3223)/(-49+40000*a)',[0.0050.02],'r-')XLabel('参数a的变化：[0.0050.02](单位：元/台)')YLabel('利润Pa(单位：元)')title('利润Pa关于参数a的灵敏性曲线')