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《勾股定理》韶关市武江区第十一中学李芳新人教版数学八年级下册《勾股定理》一、教学目标勾股定理是人教版八年级数学下册第十八章第一节《勾股定理》的第一课时，是中学数学阶段几个重要定理之一。同时学生是在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后面三角函数的学习及一些图形的计算打下必要的基础。新课程理念下的课堂不仅要传授给学生知识，更重要的是让学生经历知识形成的过程。根据数学课程标准、教学原则，结合学生的实际情况，我将这节课的教学目标确定如下：1、知识与技能：（1）使学生在探索勾股定理的过程中，掌握直角三角形三边之间的数量关系。（2）尝试运用不同的方法验证勾股定理。（3）能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．2、过程与方法让学生经历用拼图、面积法探索勾股定理的过程，从中体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜测、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。3、情感、态度与价值观通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国的悠久文化，从而激励学生发奋学习。二、教学重点与难点教学重点：1.探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.运用勾股定理解决简单的问题。教学难点：1.将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．2.用拼图、面积法证明勾股定理。三、学情分析八年级学生已经具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，并能进行简单的推理论证，但我所任教的学校地处城郊农村，学生的基础比较薄弱，计算能力不强，接受新知，运用新知的能力较弱。因此相对于其他学校的学生而言整体水平不是那么高。只有一部分学生具备了八年级学生的认知结构特点，我预计在验证勾股定理的过程中需要多一点的时间。四、教学方法与手段1、教学方法：以“问题教学法”“活动教学法”层层递进，引导学生参与探究，以此突出重点。以“几何画板演示法”展示形象直观的动态图形，贯穿数形结合的思想方法。2、学法指导：在学法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，让学生采取自主实践、合作探究的方式进行学习。通过小组合作讨论学习，体验获取新知识的快乐。培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主人。五、教学过程分析引入探索勾股定理验证勾股定理应用勾股定理巩固勾股定理小结勾股定理布置作业（一）引入并探索勾股定理1.引入勾股定理利于幻灯片：出示两幅图片，配上文字说明。第一幅：文字说明：两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。第二幅：文字说明：我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。通过简单介绍古今中外这两位数学家在勾股定理方面取得的成就，让我们的学生感受一下我们中华名族伟大的智慧。同时引出本节课的教学内容：勾股定理。2.探索勾股定理（1）毕达哥拉斯发现勾股定理的灵感来自于一块地砖，请大家随我跟着毕达哥拉斯的脚步去探索发现勾股定理。我围绕地砖这一情景，设计了以下问题，问题一：如图，观察地砖图形你能发现哪些基本图形？问题二：观察与等腰直角三角形相邻的三个正方形，它们的面积之间有怎样的数量关系？试用等腰三角形的三边表示三个正方形面积的数量关系。猜想：等腰直角三角形三边的大小存在怎样的数量关系？根据毕达哥拉斯的故事，让学生身临其境来一次探索之旅。激发学生的学习兴趣，考虑到学生可能不能很好的找出图形之间存在的的数量关系，所以我通过提问的形式，让学生明确探索目标，迅速发现新知。（2）利用格纸探究问题二观察右图，完成填空（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积．正方形B的面积是个单位面积．正方形C的面积是个单位面积．为了让学生轻松找到等腰直角三角形三边相邻的三个正方形的面积之间的关系，我设计了一张网格纸，要求学生将要讨论的图形画到网格纸中，并引导学生通过数一数，算一算的方法，完成填空，从而使得学生根据所填信息迅速地得三个正方形面积的关系是：正方形A的的面积+正方形B的面积=正方形C的面积，如果我们将等腰直角三角形的两直角边记为a,斜边记为c,则有222aac。由此反映出来的等腰直角三角形三边之间的数量关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方。（3）等腰直角三角形三边的大小所具有的数量关系是不是偶然现象？对于其他的直角三角形是否也存在着这样的数量关系？出示另外两组图形，通过让学生完成表格的形式，来进一步探究一般直角三角形三边所具有的的数量关系。根据探究问题（2）的经验，学生能很快得出正方形A与正方形B的面积，但正方形C的面积不易求得。为了突破这个难点，我建议学生尝试采取“补图”的方法，通过构造新的正方形，计算出正方形C的面积等于新的正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积。根据表格中的相关数据，学生不难得正方形A、B、C三个正方形的面积关系是：A的面积+B的面积=C的面积。由此反映出这个直角三角形三边之间的数量关系同样是两直角边的平方和等于斜边的平方。通过这个环节，培养学生“由特殊到一般，由观察到猜测”的数学思维和探究方法，培养学生观察问题，发现规律的能力。222abc（4）根据以上对一些直角三角形三边大小的数量关系的探索，请你大胆地猜想：是不是所有的直角三角形三边的大小具有下面这种特殊的数量关系？即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。根据前面的探索活动，学生凭借经验有理由做出肯定的回答。但是我为了让学生对直角三角形三边之间的数量关系有一个更深刻，更直观的认识，借此培养学生严谨、科学的学习态度。我利用几何画板向学生演示：如果我们任意改变这个直角三角形的两直角边的大小，让学生观察，与直角三角形三边相邻的三个正方形的面积的变化规律是什么？学生通过观察不难发现：无论我们怎么改变这个直角三角形两直角边的大小，都有A的面积+B的面积=C的面积,由此反映出直角三角形的三边的数量关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方。（二）验证勾股定理（1）让学生进行小组合作，用全等的直角三角板（或直角三角纸片）按要求进行拼图活动。学具准备：四个全等的直角三角形板（或直角三角纸片）①你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼,试试看.②设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，你能否就拼出的图说明？？（2）活动之后，让小组代表向全班同学演示拼图的方法，并结合拼图进行说理、验证勾股定理成立。老师首先对学生的活动予以肯定和鼓励，并作出适当的评价。然后根据学生的证明结论引导学生用数学语言归纳勾股定理的内容，与此同时教师向学生强调：①使用勾股定理的前提是在直角三角形中。②根据222abc已知任意两边的大小，可以求出第三边。拼图活动让学生亲身体验图形的形成过程，形象而富有启发性，较之于教材中的拼图方法，这个拼图活动的结果更开放，更灵活，能更好地培养学生的发散思维与探究创新精神。对学生作品给予充分的肯定与鼓励，激发学生创作热情。利用面积相等法证明直角三角形三边之间存在的数量关系的过程，渗透了数形结合的数学思维方法，同时培养学生“观察—猜测—证明”的推测性数学思维方法。通过小组交流，集思广益，解答两个问题，充分理解勾股定理。（三）应用勾股定理探究1：如图（1）一个门框的尺寸如图所示，块长3m宽2.2m的薄木板能否从门框内通过，为什么？探究2：如图（2），一个3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m那么梯子底端B也外移0.5m吗？考虑到学生的基础并且是初识勾股定理，我将课本上的探究1作为例题进行讲解，讲解中着重引导学生将实际问题转化成几何问题，并利用勾股定理来解决，教师板演解题过程，提醒学生注意解题的规范性。探究2鼓励学生独立完成，并写出解答过程。“数学来源于生活又服务于生活”，对情景问题的解决与引入前呼后应，体现课堂的整体性。同时通过具体问题巩固勾股定理内容，感受勾股定理的应用意识。（四）巩固勾股定理练习：1.求下列直角三角形中未知边的长2.等边三角形的边长是4cm,则它的高是______3、如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，①你能算出BC边上的高AD的长吗？②△ABC的面积是多少？为了加深对勾股定理的应用，提高学生运用新知的能力，我设计了一组起点低、具有一定梯度的练习题，让每一个学生都能体验利用所学知识解决相关问题的成就感，提高学生运用勾股定理计算的能力。（五）总结勾股定理引导学生总结本节课的知识内容，主要体现在以下两个方面：回顾教学活动过程：勾股定理及其发现、探索、验证和应用。总结数学思想方法：数形结合思想，转化思想（“补图”），特殊到一般等。通过对知识和能力两方面的交流小结，有利于知识系统化，形成知识框架。也便于培养学生回顾反思的良好学习习惯。（六）布置作业P69、1,P70、2，（必做）P70、8（选做）根据新课程的标准，我们的教育始终是面向全体学生的，所以在这里我设计了必做题，和选择题，做到人人有题做，同时使那些学有余力的学生的能力得到充分的发挥。六、教学评价《勾股定理》的第一课时重点是让学生经历勾股定理的探索验证过程，了解勾股定理的背景知识，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣，培养学生动手，都脑，动口的能力，在教学中同时渗透德育思想，建立平等、民主、和谐的师生关系，意在创设一种学生乐学的课堂气氛。