北京工业大学现代测试信号分析与处理第4章离散时间

北京工业大学机电学院现代测试信号分析技术第四章离散时间信号分析北京工业大学机电学院序列的傅里叶变换（DTFT）拉氏变换、傅氏变换与z变换之间的关系离散傅里叶级数（DFS）离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换的应用第四章离散时间信号分析北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换两个层面的理解：1）与傅里叶变换相比，理解为：一系列数字频率分量的叠加；2）与傅里叶级数相比，理解为：序列与其傅里叶变换互为傅里叶级数的变换关系；北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换北京工业大学机电学院4.1序列的傅里叶变换北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系北京工业大学机电学院4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系jrezjssTezTjTTjjeeere)(TerT,s平面上的虚轴映射到z平面的单位圆上；,s平面上的左半平面映射到z平面的单位圆内；,s平面上的右半平面映射到z平面的单位圆外；10r10r10rj-11RezjImzT3TT3T当s在虚轴上，z在单位圆上TT,,北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3.2离散傅里叶级数DFS北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）北京工业大学机电学院4.3离散傅里叶级数（DFS）10101IDFSDFSNnknNpppNnknNpppWkXNkXnxWnxnxkX记作离散傅立叶级数在频域和时域都已离散化，为数字信号分析和处理奠定理论基础。但信号在时域和频域是无限长的周期序列，尚需要对无限长序列进行有限化，以解决离散时间信号分析、处理和系统设计及实现的实际应用问题。北京工业大学机电学院4.4离散傅里叶变换（DFT）离散傅立叶变换（DFT，DiscreteFourierTransform）1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。北京工业大学机电学院4.4离散傅里叶变换（DFT）北京工业大学机电学院4.4离散傅里叶变换（DFT）北京工业大学机电学院4.4离散傅里叶变换（DFT）北京工业大学机电学院4.4离散傅里叶变换（DFT）北京工业大学机电学院4.4离散傅里叶变换（DFT）北京工业大学机电学院4.4离散傅里叶变换（DFT）北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质线卷积mmnhmxnhnxny)()()()()(圆周卷积10)()()()()()(NmNpnRmnhmxnhnxny北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质)()]([DFT**kNXnx北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.5离散傅里叶变换的性质北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）222222NNjNjNWeeW北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院4.6快速傅里叶变换（FFT）北京工业大学机电学院作为DFT的快速算法，FFT不仅有理论意义，而且有广泛的工程实用性，凡是可以利用傅立叶变换进行分析、综合和处理的技术问题，都可以利用FFT有效快捷地解决。4.6快速傅里叶变换（FFT）MN=DFTFFTDFT/FFT664409619221.3101024105857651202048M2北京工业大学机电学院4.7IDFT的快速算法（IFFT）北京工业大学机电学院4.8FFT的软件实现作为DFT的快速算法，FFT不仅有理论意义，而且有广泛的工程实用性，凡是可以利用傅立叶变换进行分析、综合和处理的技术问题，都可以利用FFT有效快捷地解决。在各种离散傅立叶变换的应用中，其软件部分，实现FFT运算的程序段是必不可少的，并且一般作为一个主要的子程序调用。FFT算法的基本部分，已作为一个常规的程序，在多种计算机语言中方便找到。如C、Fortran、Matlab、Mathmatica等。北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用4.9.1用FFT实现快速卷积系统响应求解时，经常需要计算系统单位抽样响应和输入信号线卷积：由于卷积是高级运算，直接计算比较麻烦。可否通过圆卷积计算代替线卷积？根据时域圆卷积定理：可以利用IFFT计算圆卷积。)()()(nhnxny北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用如果不将两序列加长至N，其线卷积的周期延拓序列将发生重叠，相应的圆卷积也将发生失真，圆卷积的主值序列和线卷积就不相同。北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用nnTjatjaaenTxTdtetxXNTTnTt)()()(1北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用111222TNTNTNks北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用余弦信号被矩形窗信号截断后，两根冲激谱线变成了以±Ω0为中心的Sa的连续谱，相当于频谱从Ω0处“泄漏”到其它频率处，也就是说，原来一个周期内只有一个频率上有非零值，而现在几乎所有频率上都有非零值，这就是频谱泄漏现象。更为复杂的信号，造成更复杂的“泄漏”，互相叠加，造成信号难以分辨。北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用减小频谱泄漏的方法一般有两种：（1）增加截断长度T1（2）改变窗口形状从原理上看，要减少截断误差，应使主瓣和/或旁瓣缩小，从而使实际频谱接近原频谱。但是从能量守恒的角度分析：旁瓣减小，则主瓣增大；或旁瓣增大，则主瓣缩小，后者容易造成旁瓣、主瓣分辨不清，引起有两个主瓣的误解。因此，一般宁可以增大主瓣为代价，缩小旁瓣，使能量集中于主瓣。北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用可以考虑改用幂窗、三角函数窗和指数窗。由于这些窗口函数时域上变化相对平缓，窗口的边缘值为零，高频分量衰减增快，旁瓣明显受到抑制，减少了频谱泄漏。但旁瓣受到抑制的同时，主瓣相应加宽，而且旁瓣只是受到抑制，不可能完全被消除，因此不管采用哪种窗函数，频谱泄漏只能减弱，不能消除，抑制旁瓣和减小主瓣也不可能同时兼顾，应根据实际需要进行综合考虑。北京工业大学机电学院常用窗函数①幂窗——采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间t的高次幂；②三角函数窗——应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；③指数窗——采用指数时间函数，如e-st形式，例如高斯窗等。4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院矩形窗TtTt/Ttw01TTw2sin矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为相应的窗谱为：矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗优点：主瓣比较集中缺点：旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负频谱现象。4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院三角窗TtTtTtTtw0-11222sinT/T/w三角窗亦称费杰(Fejer)窗，是幂窗的一次方形式：相应的窗谱为：缺点：三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍。优点：旁瓣小，而且无负旁瓣。4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院汉宁(Hanning)窗TtTtTtTtw0cos212112sinsin21sinTTTTTTw汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：相应的窗谱为：优点：与矩形窗相比，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣显著减小，旁瓣衰减速度也较快。从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。缺点：汉宁窗主瓣加宽，频率分辨力下降。4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院常用窗函数4.9离散傅立叶变换的应用北京工业大学机电学院4.9离散傅立叶变换的应用4．周期信号的数字谱分析周期连续信号xp(t)的频谱由下式近似计算连续周期信号是非时限