线性代数之同解方程题型

例1设A为n阶实矩阵,则以下命题成立的是(C).(A)若0Ax有解时0TAAx也有解,则A必可逆;(B)若0TAAx有解时0Ax也有解,则A必可逆;(C)0TAAx的解必是0Ax的解;(D)0TAAx的解与0Ax的解无任何关系.解0Ax与0TAAx同解.例2设两个四元齐次线性方程组:12240,()0xxxx与1232340,()0xxxxxx问方程组()与()是否有非零的公共解?若有,求出所有公共的非零解;若没有,说明理由.（两个方程型）解讨论方程组12241232340,0,0,0xxxxxxxxxx是否有非零解.11001001010101011110001201110000rA,因为()34RA,所以方程组有非零解,即方程组()与()有公共的非零解,且11,021xkk为所有公共的非零解.例3设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为12240,0.xxxx又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1)kk;（1个方程1个通解型）（1）求线性方程组（Ⅰ）的基础解系;（2）问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.解(1)线性方程组（Ⅰ）的解为14243344xxxxxxxx.取3410,01xx,得所求基础解系120,0,1,0,1,1,0,1.(2)将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）,得12121200kkkkkk.当120kk时,方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解,且为222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)xkkkk其中k为不为零的任意常数.例4已知齐次线性方程组（Ⅰ）的通解为120,0,1,01,1,0,1xll,又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1)kk.求线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解.（2个通解型）解令1212(0,1,1,0)(1,2,2,1)0,0,1,01,1,0,1kkll,解得12kk.当120kk时,方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解为222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)xkkkk其中k为不为零的任意常数.【注意】求两个线性方程组1Axb和2Bxb的公共解的方法.(1)若已知两个方程组1Axb和2Bxb,则求它们的公共解就是求12AxbBxb的解;(2)若已知一个方程组1Axb和另一个方程组2Bxb的通解(方程组2Bxb未知),则求它们的公共解的方法是:将2Bxb的通解代入到已知方程组1Axb中,解出2Bxb的通解中任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入2Bxb的通解中,从而得到方程组1Axb和2Bxb的公共解;(3)若已知两个方程组1Axb和2Bxb的通解(两个方程组未知),则求它们的公共解的方法是:令两个方程组的通解相等,只要解出一个方程组(不妨设为1Axb)的通解中的任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入1Axb的通解中,从而得到方程组1Axb和2Bxb的公共解.(4)对于两个齐次线性方程组,由于它们总有公共的零解,因此关于它们公共解的讨论为它们是否有公共的非零解.