微分计算及练习题

微分计算及练习题二、可微与可导的关系一、概念三、微分近似计算四、微分运算法则五、复合函数的微分六、理解举例一、概念1、引入实例正方形边长改变时面积的改变量0xx0x200,xSx设正方形边长为则其面积为20,()xSxx若边长改变则其面积变为2200()SSSxxx202()xxx21,(),xx当时就更小此时有02SxxS02xxS为的主部2、微分0(),yfxx设在的某一邻域内有定义若有00()()()(0),,yfxxfxAxoxxAx其中与无关00(),(),yfxxAxfxx则称在可微且称为在的微分记作00xxxxdydfAx()(,),()(,),fxabfxab若在内处处可微则称在内可微此时有()()dydfxAxx1.定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则)()(00xfxxfy))((limlim00xxoAxyxxA故)(xoxA在点的可导,且在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0二、可微与可导的关系定理:函数在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0“充分性”已知)(lim00xfxyx)(0xfxy)0lim(0xxxxfy)(0故)()(0xoxxf线性主部即xxfy)(d0在点的可导,则说明:0)(0xf时,xxfy)(d0)()(0xoxxfyyyxdlim0xxfyx)(lim00xyxfx00lim)(11所以0x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当2.微分的几何意义xxfy)(d0xx0xyo)(xfy0xyydxtan当很小时,xyyd时，当xy则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,为称x记作xdxyxd记三、微分在近似计算中的应用)()(0xoxxfy当x很小时,)()(00xfxxfyxxf)(0xxfxfxxf)()()(000xxx0令使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx))(()()(000xxxfxfxf得近似等式:特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式:x1很小)x(xxxx1证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当x例150.99求的近似值解：50(),1,0.01,fxxxx取则有50.99(10.01)f(1)(1)(0.01)ff0.0110.9985例2210,,,xxyxdydydy设求解：22()()2dydxxdxxdx102,0xxdydxdy180dx的近似值.解:设,sin)(xxf取则18029sin6sin6cos2123)0175.0()180(例3.求29sin的近似值.解:2433551)2243(51)24321(33)2432511(0048.3例4.计算xx1)1(例5.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量01.01RRRR2401.01RR)(cm13.03因此每只球需用铜约为16.113.09.8(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,四、微分运算法则1.()0()dCC为常数2.(())()()dCfxCdfxC为常数3.[()()]()()dfxgxdfxdgx4.[()()]()()()()dfxgxgxdfxfxdgx2()()()()()5.(()0)()[()]fxgxdfxfxdgxdgxgxgx依微分与导数的关系及求导法则，我们有五、复合函数的微分1、法则[()]()(),yfgxyfuugx设是由可微函数和复合而成[()]yfgxx则关于可微,且有[()][()]()[()]()dfgxfgxgxdxfgxdgx注：上述结论中的等式(()()dyfgxdxfudu称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量，还是中间变量，微分的形式是一样的，都有()dyfxdx六、理解举例例7（参数方程函数求导法则）设参数方程()()xxtyyt[,]t(),(),()0,dyxtyttxtdx其中关于可导且有求解：(),(),()0dyytdtdxxtdtxt()(),[,]()()dyytdtyttdxxtdtxt例8(),yfu设可微求下列函数的微分(1)(21)yfx解：(21)dydfx(21)(21)fxdx2(21)fxdx2(2)(1)yfx解：2(1)dydfx22(1)(1)fxdx22(1)xfxdx(3)(sin)yfx解：(sin)dydfx(sin)sinfxdxcos(sin)xfxdx(4)()xyfe解：()xdydfe()xxfede()xxefedx微分计算练习题1.已知求解：因为所以方程两边求微分,得已知求解：2.3.设由方程确定,解:方程两边求微分,得xxd32当0x时,0y由上式得xyxd21d0求yyd32xxd3cos30d6y13cos,xyexdy求13(cos)xdydex1313cos()(cos)xxxdeedx1313(cos)(13)(sin)xxxedxexdx()duvvduudv4.解133cossinxexxdx22222221(1)112()11xxxxxxdydeexeedxdxee2ln(1),xyedy求5.解复合函数的微分6.求椭圆在点处的切线方程。221169xy332,2解将方程两边同时微分，得11220169xdxydy可得916dyxdxy所以切线斜率为233293164xyxKy切所以，所求切线方程为333224yx即34830xy利用微分的形式不变性求隐函数的导数更为方便。