定积分习题及答案

.第五章定积分(A层次)1．203cossinxdxx；2．adxxax0222；3．31221xxdx；4．1145xxdx；5．411xdx；6．14311xdx；7．21ln1exxdx；8．02222xxdx；9．dxx02cos1；10．dxxxsin4；11．dxx224cos4；12．55242312sindxxxxx；13．342sindxxx；14．41lndxxx；15．10xarctgxdx；16．202cosxdxex；17．dxxx02sin；18．dxxe1lnsin；19．243coscosdxxx；20．40sin1sindxxx；21．dxxxx02cos1sin；22．21011lndxxxx；23．dxxx4211；24．20sinlnxdx；25．0211dxxxdx0。(B层次)1．求由0cos00xyttdtdte所决定的隐函数y对x的导数dxdy。2．当x为何值时，函数xtdttexI02有极值？3．xxdttdxdcossin2cos。4．设1,211,12xxxxxf，求20dxxf。.5．1lim202xdtarctgtxx。6．设其它,00,sin21xxxf，求xdttfx0。7．设时当时当0,110,11xexxxfx，求201dxxf。8．2221limnnnnn。9．求nknknknnene12lim。10．设xf是连续函数，且102dttfxxf，求xf。11．若2ln261xtedt，求x。12．证明：212121222dxeex。13．已知axxxdxexaxax224lim，求常数a。14．设0,0,12xexxxfx，求312dxxf。15．设xf有一个原函数为x2sin1，求202dxxfx。16．设xbaxxfln，在3,1上0xf，求出常数a，b使31dxxf最小。17．已知2xexf，求10dxxfxf。18．设102022dxxfdxxfxxxf，求xf。19．02sincoscoscosdxxxfxxf。.20．设0x时，dttftxxFx022的导数与2x是等价无穷小，试求0f。(C层次)1．设xf是任意的二次多项式，xg是某个二次多项式，已知121406110fffdxxf，求dxxgba。2．设函数xf在闭区间ba,上具有连续的二阶导数，则在ba,内存在，使得fabbafabdxxfba32412。3．xf在ba,上二次可微，且0xf，0xf。试证2afbfabdxxfafabba。4．设函数xf在ba,上连续，xf在ba,上存在且可积，0bfaf，试证dxxfxfba21(bxa)。5．设xf在1,0上连续，010dxxf，110dxxxf，求证存在一点x，10x，使4xf。6．设xf可微，00f，10f，dttxtfxFx022，求40limxxFx。7．设xf在ba,上连续可微，若0bfaf，则xfdxxfabbxabamax42。8．设xf在BA,上连续，BbaA，求证dxkxfkxfbak0limafbf。9．设xf为奇函数，在,内连续且单调增加，dttftxxFx03，证明：(1)xF为奇函数；(2)xF在,0上单调减少。.10．设xf可微且积分dtxtxfxf10的结果与x无关，试求xf。11．若xf在,0连续，20f，1f，证明：03sinxdxxfxf。12．求曲线xdttty021在点(0,0)处的切线方程。13．设xf为连续函数，对任意实数a有aadxxxf0sin，求证xfxf2。14．设方程yxtdtyxtgx02sec2，求22dxyd。15．设xf在ba,上连续，求证：afxfdttfhtfhxah1lim0(bxa)16．当0x时，xf连续，且满足xdttfxx102，求2f。17．设xf在1,0连续且递减，证明010dxxfdxxf，其中1,0。18．设xf连续，dttaftfxFx20，00f，1af，试证：122aFaF。19．设xg是ba,上的连续函数，dttgxfxa，试证在ba,内方程0abbfxg至少有一个根。20．设xf在ba,连续，且0xf，又dttfdttfxFxbxa1，证明：(1)2xF(2)0xF在ba,内有且仅有一个根。21．设xf在a2,0上连续，则aadxxafxfdxxf0202。22．设xf是以为周期的连续函数，证明：0202sindxxfxdxxfxx。.23．设xf在ba,上正值，连续，则在ba,内至少存在一点，使babadxxfdxxfdxxf21。24．证明10010ln1lnlnduufduufufdttxfx。25．设xf在ba,上连续且严格单调增加，则babadxxxfdxxfba2。26．设xf在ba,上可导，且Mxf，0af，则22abMdxxfba。27．设xf处处二阶可导，且0xf，又tu为任一连续函数，则aadttuafdttufa0011，0a。28．设xf在ba,上二阶可导，且0xf，则2bafabdxxfba。29．设xf在ba,上连续，且0xf，0badxxf，证明在ba,上必有0xf。30．xf在ba,上连续，且对任何区间ba,,有不等式1Mdxxf(M，为正常数)，试证在ba,上0xf。第五章定积分(A)1．203cossinxdxx解：原式41cos41cos204203xxdx2．adxxax0222解：令taxsin，则tdtadxcos当0x时0t，当ax时2t原式2022coscossintdtatata.20420244cos182sin4dttatdta42044164sin41828ataa3．31221xxdx解：令tgx，则ddx2sec当1x，3时分别为4，3原式dtg3422secsec342sinsind33224．1145xxdx解：令ux45，则24145ux，ududx21当1x，1时，1,3u原式61581132duu5．411xdx解：令tx，tdtdx2当1x时，1t；当4x时，2t原式2121211212tdtdtttdt32ln221ln22121tt6．14311xdx.解：令ux1，则21ux，ududx2当1,43x时0,21u原式2ln21111212210021duuuduuu7．21ln1exxdx解：原式2211ln1ln11lnln11eexdxxdx232ln1221ex8．02222xxdx解：原式02022111xarctgxdx24411arctgarctg9．dxx02cos1解：原式002cos2cos2dxxdxx220cos2cos2dxxxdx22sinsin2220xx10．dxxxsin4解：∵xxsin4为奇函数∴0sin4xdxx11．dxx224cos4解：原式2022204cos22cos24dxxxdx.2022022cos2cos2122cos12dxxxdxx2020204cos12cos22dxxxdxx202044cos4122sin2xxdx234sin412320x12．55242312sindxxxxx解：∵12sin2423xxxx为奇函数∴012sin552423dxxxxx13．342sindxxx解：原式34xdctgx3434ctgxdxxctgx34sinln9341x22ln23ln934123ln21934114．41lndxxx解：原式41ln2xxd.4141lnln2xdxxx4112ln42dxxx412122ln8dxx42ln815．10xarctgxdx解：原式10221arctgxdx1022102121dxxxarctgxx10210121218xdxdx101021218arctgxx21416．202cosxdxex解：原式202sinxdex2022022sinsindxexxexx202cos2xdeex2022022cos2cos2dxexxeexx202cos42xdxeex故251cos202exdxex17．dxxx02sin.解：原式020222cos1sindxxxdxxx02022cos2121xdxxdxx02032sin4161xdxx002322sin2sin416xdxxxx032cos416xxd462cos2cos4163003xdxxx18．dxxe1lnsin解：原式eedxxxxxx111lncoslnsinedxxe1lncos1sineedxxxxxxe111lnsinlncos1sinedxxee1lnsin11cos1sin故