计算电磁学矩量法

[e-mail]第8章矩量法计算电磁学－矩量法(2011版)主要内容一．矩量法思想二．加权余量法原理三．MOM中基函数、权函数四．静场问题的MOM法五．细导线问题的MOM法[e-mail]1.概述矩量法（MethodofMoment，MOM）在天线、微波技术和电磁散射等方面广泛应用的一种方法，这些实际工程问题涉及开域、激励场源分布形态较为复杂。MOM将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程问题R.F.Harrington在20世纪60年代对矩量法求解电磁问题做了全面深入分析。矩量法在数学处理上可采用加权余量法或定义泛函内积等方法展开。既要理解通常矩量法构造的数学基础，又能把握其他数值计算方法与之相关的内在联系，采用加权余量法概念说明矩量法。加权余量法（MethodofWeightedResiduals）将积分、微分方程离散化为矩阵方程的方法，统一归结为加权余量法，由此构造各种近似计算方法统一的数学基础。[e-mail]矩量法思想根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量，故此法称为（MomentofMethod,MOM）矩量法。矩量法之名来源于数学，我们知道数学上常称为f(x)的n阶矩。()nxfxdx[e-mail]矩量法思想不同电磁问题的算子方程''014ldlLLR20LL(2)0(')4SeSZZkLHkdlLJErr22222,1,LiLZGZZLkGZZdZLIZEjZ[e-mail]2.加权余量法给定边值问题的场方程（微分或积分方程）及边界条件统一表述为如下的算子方程,LugugV12()()sbSsbSuuuqn[e-mail]未知函数展开对函数近似构造一个由有限个无关函数所组成的基函数集合，并要求满足总体边界条件因为是近似解，必有误差存在，这误差称之为余量，记作1=nTiiiuNuNuu(1,2,)iNinN()Ru()RuLug[e-mail]权函数使余量在某种平均意义上为零，我们对余量表达式加权后再求积，在积分区域上使其值为零为加权函数（称试探函数），由多个（n个）试探函数作用于余量表达式，构成n个方程组，等价于强制的近似解，使其不能精确地满足场方程而导致的误差在平均含义上等于零。这种方法统称为加权余量法。()Ru0(1,2,,)jvWLugdVjn[e-mail]矩量法上式相当于在余量表达式对取矩的一组平衡式，故称这种构造方法为矩量法。矩量法与加权余量法属于同一数学描述。处理加权余量式()RuLugjWjjvvWLudVWgdV[e-mail]离散化为矩阵左边等于1,,(1,2,,)nijijiuWLNWgjn1njiiviWLNudV,jijivWLNdVWLN书写方便，定义内积表达式右边等于,jjvWgdVWg加权余量式可简写成1njiiviWLNudV1nijiviuWLNdV[e-mail]离散化为矩阵上式为含n个未知数的n个方程，可以用矩阵的形式来表示iuMug111212122212,(),(),(),(),(),(),(),(),()nnnnnnWLNWLNWLNWLNWLNWLNMWLNWLNWLN,()jijiMWLN1122,,,,nnuWguWguguWg[e-mail]矩阵计算计算出系数u1,u2,u3,…uN.1MuguMg11TnmnmuNMgNMg[e-mail]在函数空间中的图形表示1,,(1,2,,)nijijiuWLNWgjn[e-mail],LugugV基函数构造基函数可以分为全域基函数和分域基函数全域基函数：算子L的定义域，即待求函数的定义域内都有定义的基函数傅立叶级数()cos,sinkaxkxkx1()nkkkuaxu马克劳林级数勒让德多项式kx1nkkkuxu()kPx1()nkkkuPxu/220(22)!()(1)2!()!(2)!lklkklklkPxxklklk[e-mail]分域基函数分域基函数：待求函数的定义域中相应子域内才有定义的基函数一维阶梯状插值－－脉冲函数u1/21/21()()0()iiixxxxother0()()niiiuxxu[e-mail]分域基函数一维分段线性插值－－三角形函数脉冲函数()iTx111111()()()(,0,1,)iiiiiiiiiiiixxxxuxfxfxxxxxxxxin111111()()()0()iiiiiiiiiiixxxxxxxxxTxxxxxxothers0()()niiiuxTxu[e-mail]分域基函数三角元剖分插值。基函数是三节点三角形的形状函数1(,)()(,,)2essssNxyabxcysijm,,()(,)(,,)ssijmuxNxyusijm分域基特点：具有“局部化”特点，即只在一个局部范围内不为零，其余全为零，离散点值的变化将只直接影响到其相衔接的子域，从而保证节点n递增时插值过程的数值稳定性。分域基的数值稳定性较高，全域基的收效性较好。若选择的基函数和实际解答愈接近，收敛愈快。[e-mail]权函数的选取由加权余量表达式，不同的权函数选择，将决定算子方程的余量在不用意义下取零，可得到不同计算模式的矩量法。0jvWLugdV()RuLug点匹配法（狄拉克函数）''''''(rr)0(rr)(rr)(rr)(rr)1(r)jjjjjjjjjVdVV''(r)(rr)(r)jjjVfdVf定义'''',()(rr)()((r)),(rr)(r)jijijjiijVjjjjjVMWLNLNdVLNgWggdVgMOM矩阵元素[e-mail]权函数的选取1,,(1,2,,)nijijiuWLNWgjn1nijijVViuNLNdVNgdV伽辽金法（选取的权函数等于基函数）jjWN[e-mail]权函数的选取最小二乘法（权函数为余量本身）()RuLug最小二乘法在函数逼近、最优化问题等方面都有广泛的应用，它是通过定义目标函数F为余量R平方和，求极小值的一种方法2minVFRdV把算子方程余量代入上式，则F便成为待定系数的多元函数。极值问题为一个多元函数的极值问题，其必要条件1njjjuNuiu0(1,2,,)jFjnu[e-mail]权函数的选取iu由于是未知系数，不是空间坐标的函数，上式可展开220(1,2,,)VVjjjFRRdVRdVjnuuu从上式可以看出，我们取权函数，这样得到于MOM法一样的表达式。2jjRWu还有其它权函数选择方法，如将场域剖分成多个子域，定义子域内的权函数为1，构成子域匹配法。[e-mail]的基函数权函数选取基函数与权函数的不同配合对待求物理场问题所需的计算工作量，以及所得解答是否符合要求等方面都将有不同的影响。如算子方程是积分方程，虽然分域基的数值稳定性较高，并且计算量也少，单其光滑性较差，对某些积分方程不适用。若积分方程中存在有待求函数的微分运算，则显然不能用脉冲函数作为基函数，但描述静电场问题的积分方程中，没有微分运算，对基函数没有这一限制。[e-mail]3.静电场下的MOM计算静电场问题，在采用分域基的场合下，因选取脉冲函数为基函数，计算过程比较简单。在权函数的多种选取方案中，以点匹配法最为简捷，故此构成的矩量法在静电场问题的求解中得到有效的应用。[e-mail]点匹配法实例一维静电场分布一平行板电容器，两极板接地，板间体电荷密度板间距为单位长度。忽视边缘效应，试求一维静电场问题的场分布。数学模型0(12)x2201(12)(01)0xxdxxdx23()5/6/2/3xxxx[e-mail]一维静电场分布基函数为全域基因为解为幂级数形式，基函数含有幂级数给出的基函数满足给定的边界条件。等间距的匹配点，权函数为狄拉克函数1(1,2,,)iiNxxin11()()niiixxx()jjjWxx(1,2,,)1jjxjnn[e-mail]一维静电场分布基函数、权函数代入MOM矩阵方程，矩阵元素取n为2时与解析解相同，n2时，得到的解一样。1(())(1)12()11ijiijjjjMLNxiinjggxn1252232473[e-mail]一般积分方程边值问题一般积分方程边值问题，点匹配法通常采用的基函数为脉冲函数。静场积分方程的数学模型步骤：（1）离散化带电体的表面，设剖分为n个子块，且令每子块电荷密度分别为相应的常量。待求面电荷密度函数可用基于脉冲函数近似表达''''(r)(r)4rrsds'(1,2,,)isini'(r)()ix''1(r)(r)niii[e-mail]一般积分方程边值问题（2）在给定边界条件的导体表面上设定m个匹配点。（3）计算带电体表面各子块对应的元电荷在各匹配点上产生的电位，并分别叠加，从而各匹配点Mj上电位必须等于边界上给定的电位值，建立静场积分数学模型的离散方程。（4）按配点法计算模式建立方程，计算待定系数（5）由求出的，由步骤（1）的表达式，即求出待求电荷密度的数值解。求出已知场源分布的前提下，求得场中任意点电位、场强、电容参数。b(r)(1,2,,)jMjmii'(r)[e-mail]带电导体棒的电场分布半径为a，长度为L的细长带电导体棒，给定电位，求此带电导体棒的电场积分方程因为La，化简为0[e-mail]()()4r'rr'rr'eeVqd0()()4'r'rr'LeeqxdxRef.ThemethodofMomentsinElectromagnetics,WaltonC.Gibson22()()rr'''wherexxyy带电导体棒的电场分布导体棒的分段模型基函数展开由边界条件[e-mail]0()()4'r'rr'Leeqxdx1()()''Nennnqxax1()0x'xnnnlxl000,()rexLyaV带电导体棒的电场分布把基函数代入边界积分方程[e-mail]0011()4''rr'NNnnnV