等差数列前n项和优秀教案

§2．3等差数列的前n项和一、教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决问题。过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。二、教学重点等差数列n项和公式的理解、推导及应用三、教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题四、教学过程[创设情景]在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+……+100=？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.[探索研究]我们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由1+2+…+n-1+nn+n-1+…+2+1（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）可知2)1(...321nnn上面这种加法叫“倒序相加法”请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项与尾项的和相等这个规律，并且把这个规律用于求和。这种方法可以推广到求一般等差数列的前n项和。[等差数列求和公式的推导]一般地，称naaaa...321为数列}{na的前n项的和，用nS表示，即nnaaaaS...321.1.思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。],)1([...)2()(1111dnadadaaSn①],)1([...)2()(dnadadaaSnnnnn②由①+②，得2nS1111nnnnaaaaaaaan个（）+（）+（）+...+（）)(1naan由此得到等差数列}{na的前n项和的公式2)(1nnaanS对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。2.把1(1)naand代入1()2nnnaaS中，就可以得到1(1)2nnnSnad对于这个公式，只要知道等差数列的首项、项数和公差，就可以求出等差数列的前n项和。引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，该公式可以变形为2111()22nSdnadn，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道1a和n，不同点是第一个公式还需知道na，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。[例题分析]例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？⑴、先阅读题目；⑵、引导学生提取有用的信息，构造等差数列模型；⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{}na，表示从2001年起各年投入的资金，其中1500a，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为10101105005072502nS（）（万元）答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例2．已知一个等差数列{}na前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于1naand1、、n或者a、、的方程。若要确定其前n项求和公式，则要确定d1a和的关系式，从而求得。分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于1a与d的二元一次方程，由此可以求得1a与d，从而得到所求前n项和的公式.解：由题意知10310S，201220S，将它们代入公式112nnnSnad（），得到111045310201901220adad，解这个关于1a与d的方程组，得到1a=4，d=6，所以214632nnnSnnn（）另解：11010103102aaS得11062aa；①120202012202aaS所以120122aa；②②-①，得1060d，所以6d代入①得：14a所以有21132nnnSandnn（）例题评述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.例3已知数列{}na的前n项为212nSnn，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据121...nnnSaaaa与1121...nnSaaa（n1）可知，当n＞1时，221111[11]2222nnnaSSnnnnn（）（）①当n=1时，211131122aS也满足①式.所以数列{}na的通项公式为122nan.由此可知，数列{}na是一个首项为32，公差为2的等差数列。这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和nS，可求出通项111(1)nSnSnn（）S用这种数列的nS来确定na的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意1a不一定满足由1nnnSSa求出的通项表达式，所以最后要验证首项1a是否满足已求出的na.思考：结合例3，思考课本45页“探究”：一般地，如果一个数列{}na的前n项和为2.nSpnqnr其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引导分析得出：观察等差数列前n项和公式2111222nnnddSandnan（）（），公式本身就不含常数项。所以得到：如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.例4已知等差数列2454377，，，....的前n项和为nS，求使得nS最大的序号n的值.分析：等差数列的前n项和公式可以写成2122nddSnan（），所以nS可以看成函数2*122ddyxaxxN（）（）当x=n时的函数值.另一方面，容易知道nS关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函＞na数来求n的值.解：由题意知，等差数列2454377，，，....的公差为57，所以5[251]27nnSn（）（）=2275551511251414256nnn（）于是，当n取与152最接近的整数即7或8时，nS取最大值.[随堂练习]课本45页“练习”第1、2、3题[课堂小结]等差数列}{na的前n项和的公式2)(1nnaanS和1(1)2nnnSnad（五）评价设计课本46页A组第2、3、6