武汉科技大学《矩阵分析》2011博士入学考试试题

武汉科技大学《矩阵分析》2011博士入学考试试题1/3二O一一年招收博士研究生入学考试试题考试科目及代码：矩阵分析（3309）可使用的常用工具：计算器答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。考试时间3小时，总分值100分。姓名：报考学科、专业：准考证号码：密封线内不要写题注意：以下试题中：TA表示A的转置，HA表示A的共轭转置阵，)(Atr表示A的对角元素的和，E表示单位阵，如果HA与A可以交换，称A为正规阵。一、填空（共4小题16分）1．线性空间},|),,2{(RbabaabaV的正交补为。2．已知001001cbaA为正交阵，则cba。3．A为二阶方阵，A的特征值为2、1，则2A的特征多项式为。4．0311003010130A，A的Frobenius范数FA||||。二、单项选择题（共4小题16分）1．已知n阶方阵A与对角阵相似，则A的最小多项式不．可能为A）3；B）)1(；C）；D）)2)(1(。武汉科技大学《矩阵分析》2011博士入学考试试题2/32．}|)0,0,{(RaaU，W为线性空间3R的子空间，则当时，WU为直和。A）},|)0,,{(RyxyxW；B）},|),,0{(RzyzyW；C）},|)0,,{(RzxzxW；D）},,|),,{(RzyxzyxW。3．A为n阶实方阵，必为正定阵。A）2A；B）AAT；C）2AE；D）AAET。4．V是3维欧式空间，T为V上的正交变换，则A）T在任意一组基下的矩阵都为正交阵；B）T的特征值全为1；C）T把任意三角形都变成与之全等的三角形；D）T在任意一组基下的矩阵的行列式都为1。三、（10分）300020001A，W=XAAXXX阶方阵，且为：3，1．验证W为33R的线性子空间。2．求W的维数和一组基。武汉科技大学《矩阵分析》2011博士入学考试试题3/3四、（10分）220220322A，V=Rxxxxxx321321、、：，对任意Vxxxx321，AxxT41)(1．求一组基，使得T在此基下的矩阵为对角阵；2．求对任意Vx，计算)(limxTnn。五、（10分）210120103A，求A的若当标准型。六、（10分）35.0105.035.0115.035.0015.03A，证明：A的特征值都位于区间]5,1[之中。提示：利用圆盘定理。七、（10分）1111A，计算Ae，并讨论Ae的正定性。八、（18分）证明题1．A、B为n阶正规阵，求证A与B相似的充分必要条件是：A、B的特征多项式相同。2．T为n维线性空间V上的线性变换，求证T可逆的充分必要条件是T的值域为V。