2020届高考数学二轮复习专题《圆锥曲线的离心率问题》

圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，在解决圆锥曲线问题中有着重要作用．纵观近几年高考试题，离心率在填空题中考查居多，一是求椭圆(或双曲线)的离心率的大小，二是求椭圆(或双曲线)的离心率的范围，难度一般为中等或中等偏下．解答题中考查大都是把离心率作为求椭圆方程的一个条件，只需代入即可，是基本要求．本专题主要通过对近年来各地的一些模考题及高考题的分析，来探索有关求离心率的策略与方法.(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系中，已知点A，F分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为________．13如图33­1所示，设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝12BQ∴AMBQ＝AFBF，则12＝a－ca＋c，求得a＝3c，即e＝13.图33­1点M是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆E离心率的取值范围是________．0，6－22因为圆M与x轴相切于焦点F，所以Mc，b2a，过M作y轴的垂线，垂足为N，△PQM是钝角三角形，则∠PMQ＞90°，∠PMN＞45°，cos∠PMN＜22，acb2＜22，e2＋2e－1＜0，又0＜e＜1，所以椭圆E离心率的取值范围是0＜e＜6－22.本题考查求椭圆离心率的大小和范围，(1)题中，设B为椭圆的左顶点后，由椭圆的对称性可得，四边形APBQ是平行四边形，从而有△AFM与△BQF相似，从而可得AFBF＝AMBQ＝12BQBQ＝12，于是可得a与c的等量关系，进而求得离心率的值，本解的解决包含着等价转化思想的应用；(2)题中，要求离心率的范围，先要找出含有a，b，c的不等关系的条件，将题中的圆心角钝角∠PMQ转化为它的一半的范围，从而由45°12∠PMQ90°，由此可得a，b，c的不等关系，进而可求离心率的范围.(2019·全国卷)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则双曲线C的离心率为________．图33­22如图33­2所示，由题意，把x＝c2代入x2＋y2＝a2，得PQ＝2a2－c24，再由|PQ|＝|OF|，得2a2－c24＝c，即2a2＝c2,∴c2a2＝2，解得e＝ca＝2.(2020·济南模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1→·AF2→＝0，AF2→＝2F2B→，则椭圆E的离心率为________．53∵AF2→＝2F2B→，设|BF2|＝x(x＞0)，则|AF2|＝2x，由椭圆的定义，可以得到|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x.∵AF1→·AF2→＝0，∴AF1⊥AF2在Rt△AF1B中，有2a－2x2＋3x2＝2a－x2，解得x＝a3.∴|AF2|＝2a3，|AF1|＝4a3在Rt△AF1F2中，有4a32＋2a32＝2c2整理得c2a2＝59，∴e＝ca＝53圆锥曲线中的离心率的计算，通常有三种方法：一是根据题目中的条件，直接求出a，b，c的值，再计算离心率；二是利用题设条件构建关于a，b，c的一个齐次等量关系，再化归为关于离心率e的方程求解；三是利用题设条件构建关于a，b，c的一个齐次不等式，再化归为关于离心率e的不等式求解．要得到a，b，c的关系，常有两种途径，一是利用图形中的几何特征，比如焦点三角形、圆锥曲线的定义等；二是利用坐标运算，将题中点的坐标用a，b，c表示，再利用条件列出等式或不等式求解．此处不能忽略圆锥曲线离心率的自身限制条件，否则容易扩大所求离心率的取值范围.设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆E的离心率e的取值范围是________．33，1如图33­3，由题意知，PF2＝F1F2＝2c，又PF2≥AF2＝a2c－c,2c≥a2c－c，又0＜e＜1，所以，33≤e＜1，椭圆E的离心率e的取值范围是33，1.图33­3(2019·天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为________．5∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.∴F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，∵l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，∴|AB|＝2ba，|OF|＝1，∴2ba＝4，∴b＝2a，∴c＝a2＋b2＝5a，∴e＝ca＝5.(2019·全国卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A→＝AB→，BF1→·BF2→＝0，则C的离心率为________．2如图33­4，∵F1A→＝AB→，BF1→·BF2→＝0，∴OA⊥F1B，则F1B所在直线方程为y＝ab(x＋c)．联立y＝ab(x＋c)y＝bax，解得B(a2cb2－a2，abcb2－a2)，则OB2＝a4c2(b2－a2)2＋a2b2c2(b2－a2)2＝c2.整理得：b2＝3a2，∴c2－a2＝3a2，即4a2＝c2，∴e＝c2a2＝2.图33­4(2020·徐州模拟)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点，若PF1与x轴垂直，cos∠PF2F1＝1213，则该双曲线的离心率为________．32由通径长公式得|PF1|＝b2a，∵cos∠PF2F1＝1213，∴|PF2|＝13b25a，∵|PF2|－|PF1|＝2a，∴13b25a－b2a＝2a,8b2＝10a2，∴e＝1＋b2a2＝1＋54＝32.在Rt△PF1F2中，∵cos∠PF2F1＝1213，∴tan∠PF2F1＝512，∴b2a2c＝512，∴5ac＝6b2＝6(c2－a2)，即6c2－5ac－6a2＝0.∴6e2－5e－6＝0解得e＝32，e＝－23(舍去)