复球面上的几何性质

1复球面上的几何性质摘要：本文通过测地投影法，建立了复平面与球面上的点的一一对应关系。从而复平面上的点可以在一个三维球面上被表示出，称为复数的球面几何表示。通过这样的一个一一映射，我们可以研究平面上的复数和复平面在有限三维空间上的性质，接着再探讨复球面与扩充复平面之间的对应关系。关键词：复平面；复球面；对应关系中图分类号：O174.51引言公元七世纪前，欧几里得（Euclid）精心整理了古希腊推理几何学，创造性的完成了《几何原本》这本数学巨著。1868年，德国数学家黎曼（Riemann）从另一角度否定欧几里得第五公设（平行性公设），黎氏几何公理体系与欧氏几何公理体系除平行公理截然不同外，其它公理也有异同之处。我们把通常的球面作为平面，球面上对径点（球面直径的两端点）视为一个点，球面上的大圆作为直线，便得到黎氏几何的一个模型，称为黎氏半球面模型。球面几何属于黎世几何，其有着广泛的应用。例如，卫星定位、大地(天体)测量和航空卫星定位等都需要利用有关于球面几何的知识。在基础理论上，球面几何与欧氏几何是不同的几何模型，它是一个非常重要且实用的非欧几何的数学模型。在几何学的理论研究方面球面几何有着特殊的重要作用和意义。我们通过比较欧氏平面几何与球面几何的差异和联系，应用和感受科学中存在的丰富多彩的教学模型。我们可以在坐标系中用一个点表示一对有序实数。通过复变函数的学习，可知坐标系中的一个点可以与一个复数一一对应。因此我们可以在坐标系中将全体复数构成的集合进行表示，则会形成一个复平面，每一个复数在复平面上都有一个唯一对应的点。通过有关的学习和书籍的说明，可以知道扩充复平面与复球面之间可以建立一一对应的关系。本文致力于研究扩充复平面和复球面之间的位置关系，讨论其对应表达式及研究对应关系，在理论上得以证明其建立的关系。对于复数和复平面在复球面上的性质，从而构造出一个新的一一映射，在一个三维球面上复平面的点可以被表示出来，这样我们可以称其为复数的球面几何表示。2我们通过这样的一个一一映射，对平面上复数的研究转移到一个有界的复球面，并且在这个复球面中讨论复数在其上的一些性质及关系。1复球面1.1复数在球面上的表示法设，，，nzzz21,（1）是一个点列。如所周知，如果在以原点为中心，任意大的数为半径的圆外，总有这个点列中的点，这个点列就称为是无界的。我们也知道一个无界点列，可以没有极限点。在这种情况下，我们说点列（1）趋向无穷。用符号来表示，写作nnzlim,（2）这个等式就表示无穷数列（2）没有极限数。为了给等式（2）以简单的几何意义，我们要用球面上的点来表示复数。为此，我们取一个与平面在原点o相切的球面（图1）那未通过o点的球的直径op就与平面垂直，并且与球面交于一个第二点p，我们把点p叫做极点。每一个复数z可以看作平面上的一个点，用直线pz连接这个点与极点。这条直线与球面有（异于p的）另一个唯一的交点，我们就用这个唯一确定的点来表示复数z，称作z在球面上的像。这样一来，每一个复数就可由球面上的某一点来表示。反之，除极点p以外，对于球面上每一个点，平面上有一个唯一的点对应它，这个点就是通过p点和那个被考虑的点的直线与平面的交点。所以，除极点p以外，球面上每一个点代表了某一个复数。这样，我们就在平面上的点与球面上（除点p以外）的点之间建立了一个双方连续的一一对应。这个球面，在它上面去掉了p点以后，就成为全体复数的像。现在我们来观察p点与球面上另外的点有什么相互的关系。假如数列nz趋向无穷，nnzlim，那么nz在球面上的像就无限制地接近于p点。把p点作为无穷的像就显得很自然，而平面上与它对应的那个唯一的点就称为这个平面的无穷远点。3这样，在复数平面上我们承认有唯一的无穷远点（它在球面上的像是p点）这跟射影几何的平面不同，在那时考虑无穷远直线，也就是说有无穷多个不同的无穷远点。上述的变换叫做球极投影，用这个变换，我们建立了球面上的点与平面上包括它的唯一的无穷远点在内的点之间的一个一一对应。这个用它的点代表了全体复数及无穷的球面称为复数球面或黎曼球面。把复数映射到球面上来代替复数平面的优越性是：这里能把平面上的唯一的无穷远点明显地表示出来。假如把球面上p点的邻域了解为任一个圆周所包围的含有p的球面的一部分，而这个圆周所在的平面是和op相垂直的话，那么在平面上应当把无穷远点的邻域了解为这个球面部分的球极投影，也就是说，以坐标原点为中心的任一圆周的外部。于是点列（1）收敛于无穷远点的条件，可以表示成完全类似于第3节的条件的形式：假如点列nz中几乎所有的点（就是说除了有限个点外所有的点）都在无穷远点的任意的邻域内，我们就称这个点列收敛于无穷远点。在以后的叙述中，假如没有相反的说明，我们总用字母z表示平面上的任一个普通的点，而这种点的全体叫做复数平面。复数平面连同无穷远点在一起就叫做扩大了的复数平面。我们应当注意，平面的无穷远点，跟远点一样，没有确定的幅角。1.2球极投影公式poxy图14在上一段中，我们谈了球极投影的几何构造，现在我们要来推演这个变换的公式，也就是说要解决下面的问题：已知复数，要确定球面上对应点的坐标，以及这个问题的逆。为了要解决这个问题，我们选取一个空间的坐标系o使o与o合于复数平面上的ox轴与oy轴，而o则沿着直径op的方向（图1）。并为简单记，我们取直径的长作为单位长。复数iyxz在平面上以坐标为x，y的点为代表。假定这个复数在球面上的像的坐标是，，。因为球面的中心是在点)2100(，，，而它的半径等于21，所以，，应当满足下列球面方程）（即-141)21(22222,（4）又因为，，，，，100与)0,,(yx这三点在一直线上，所以它们的坐标系应当满足1010000yx,（5）从等式（5）就可以用，，来表示x与y。例如，比较第一个比式与第三个比式，然后再比较第二个比式与第三个比式，我们就求出：111izyx即，,（6）公式（6）给出了用球面上对应点的坐标来表示平面上点的坐标的式子。为了要得到上面公式的逆，我们注意：1)1(22222yx,(7)从而求出：12222yxyx,(10)已知后，从公式（7）立刻可以确定出与122yxx,（9）5122yxy,（10）公式（8）（9）（10）给出了球面上点的坐标通过复数的支量x与y的表达式。1.3球极投影的基本性质现在我们要证明下面球极投影的一个非常重要的性质：在球极投影的变换下，平面上任一圆周都变成球面上的圆周，反之亦然。这里必须要注意的是:在这个定理的化简了的叙述中，“圆周”一词应当作广义的了解，应当把直线算作半径是无穷大的圆周一起包括在内。事实上，在平面上任一圆周的方程的形式是0)(22DCyBxyxA，（11）其中CBA,,与D都是实数。特别0A时，方程（11）就表示一条直线。为了要确定在球面上的对应曲线，把方程（11）中的x与y用它们通过，，的表达式来替换。根据公式（6）（7）我们就得到0111DCBA，或0)(DDACB，（12）这个得到的方程是一次的，所以表示一个平面。因此，坐标，，要满足两个方程（4）（12），从而，点，，事在球面（4）与平面（12）的交线上，也就是说在球面上形成一个圆周。反之，很容易知道球面（4）的任一个圆周都变成复数平面的圆周，这是因为利用数CBA,,与D的任意性，我们总可以把任一个平面的方程表示成（12）的形式的缘故。显然，当0A时，平面（12）通过点)100(，，P，所以只有在球面的圆周通过球面的极点的情形下，这个圆周才变成平面上的直线。从几何上来看，这个事实也是显然的：因为对应于平面上直线的球面上的圆周，必须经过平面上的无穷远点的像即点p。6让我们来考虑在球面上相交于某一点m的两条曲线，并设这两条曲线的交点的切线构成一个交角（图2）。我们要证明这两条曲线的球极投影在点m的投影M的切线同样构成角，也就是说，对于球极投影，角的值保持不变。为此，我们首先注意：当曲线的割线趋向于曲线的切线的投影，而同时也趋向于这条曲线的投影的切线。由此可见，球面曲线的切线的投影就是这条曲线的投影的切线。现在，让我们延长这两条球面曲线的切线，使它们与球面在p点的切平面相交于点A和B。显然，三角形等于三角形AMB，这是应为AB是这两个三角形的公共边，AMAP是从同一点出发到球面的两条切线，同样BMBP。因此弧APB弧AMB。但由于曲线的投影的切线一条是平面PAM与投影平面的交线，另一条是平面PBM与投影平面的交线，它们各与AP及BP平行。从而它们之间的交角等于弧APM。2复平面与复球面的对应关系2.1复球面的球心在原点设三维空间中存在一坐标点uyx，，，复平面是xoy面，将其称为为z平面，原点在球心r为半径的球面方程是2222ruyx(下面r均大于0)，点rN，，00称为球面上的球极，在球面作连接点rN，，00与xoy平面上任意一点0A，，yx的直线，设球面与这条直线的交点是1A，并称1A为A在球面上的球极射影，因此点A与球极射影1A有如下对应关系：oABM图27定理2.1([1])复平面上的任意点)0(A11，，yx在复球面2222ruyx上的球极射影1A位置坐标为22121221212212112221211222ryxryxruryxyryryxxrx，，,证明球极)00(rN，，和复平面上的点)0(A11，，yx的连线NA的方程为rruyyxx11,故有111xrxruxxyy，,(1)带入方程，得2212112)()(rxrxrxxyx,2212112)()(rxrxrxxyx,从而22121122ryxxrx,带入（1）式，解得22121221212212112)(2ryxryxruryxyry，,证毕。推论2.1([1])复平面上的任意点)0(11，，yx在复球面1222uyx上的球极射影1A坐标为：1)1(1212212121212121121211yxyxruyxyyyxxx，，(2)推论2.2([1])复数iyxz在复球面1222uyx上的球极射影坐标为)111Im21Re2(2222zzzzzz，，。2.2复平面与复球面相切8设复平面与球心在），，（r00P点的复球面相切，则2222)(rruyx为复球面的方程，)200(Nr，，为球极，作一条连接)200(Nr，，与xoy平面上的任意一点)0(A11，，yx的直线，设复球面与直线的交点是1A并称1A为A的球极射影。下面给出1A与A对应关系的结论：定理2.2([1])复平面上的任意点)0(A11，，yx在复球面2222)(rruyx上的球极射影1A坐标为221212121221211222121124)(2,44,44ryxyxruryxyryryxxrx，证明：球极N)200(Nr，，与任意点)0(11，，yx的连线NA的方程为rruyyxx2211，故有1xrxrru，（3）代入2222)(rruyx，得2212112)()(rxrxrxxyx，解得221211244ryxxrx，代入（3）式，即有221211244ryxyry，2212121214)(2ryxyxru，证毕。推论2.1([1])复平面上的任意点)0(A11，，yx在复球面1)1(222uyx上的球极射影1A坐标为4)(24444212121212121121211yxyxuyxyyyxxx，，。推论2.2([1])复数iyxz在复球面1)1(222