三角函数知识点汇总

第1页共11页1三角函数的概念【知识网络】【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角2．象限角与轴线角：与终边相同的角的集合：},2|{Zkk第一象限角的集合：{|22,}2kkkZ第二象限角的集合：{|22,}2kkkZ第三象限角的集合：3{|22,}2kkkZ第四象限角的集合：3{|222,}2kkkZ终边在x轴上的角的集合：{|,}kkZ终边在y轴上的角的集合：{|,}2kkZ终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2kkZ要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系.三角函数的概念角的概念的推广、弧度制正弦、余弦的诱导公式同角三角函数的基本关系式任意角的三角函数第2页共11页考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式：弧长lr，扇形面积21122Slrr扇形（其中r是圆的半径，是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180；18010.017451()57.305718'180radradrad；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.考点三、任意角的三角函数1.定义：在角上的终边上任取一点(,)Pxy，记22rOPxy则sinyr,cosxr,tanyx，cotxy，secrx，cscry2.三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做的正弦线，余弦线，正切线.3.三角函数的定义域：siny，cosy的定义域是R；tany，secy的定义域是{|,}2kkZ；coty，cscy的定义域是{|,}kkZ.4.三角函数值在各个象限内的符号：考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：222222sincos1;sec1tan;csc1cot.2.商数关系：sincostan;cotcossin.3.倒数关系：tancot1;sincsc1;cossec1要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sincos，221sectantan45，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点五、诱导公式1.2(),,,2kkZ的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.第3页共11页2.2，23的三角函数值等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆.同角三角函数基本关系式和诱导公式【知识网络】【考点梳理】考点一、同角三角函数基本关系式1．平方关系：222222sincos1;sec1tan;csc1cot.2．商数关系：sincostan;cotcossin.3．倒数关系：tancot1;sincsc1;cossec1要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sincos，221sectantan45，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点二、诱导公式sin()sin,cos()cos,tan()tan.sin()sin,cos()cos,tan()tan.sin()sin,cos()cos,tan()tan.同角三角函数基本关系式诱导公式同角三角函数基本关系式和诱导公式第4页共11页sin()cos,2cos()sin.2sin()cos,2cos()sin.23sin()cos,23cos()sin.23sin()cos,23cos()sin.2要点诠释：（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。“奇变”是指所涉及的轴上角为2的奇数倍时（包括4组：2，23）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.“偶不变”是指所涉及的轴上角为2的偶数倍时（包括5组：2,,,2k）,函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.（2）诱导公式的引申：sin()(1)sin,cos()(1)cos,tan()tan.()kkkkkkZ3正弦、余弦的图象和性质【知识网络】【考点梳理】考点一、“五点法”作图在确定正弦函数sinyx在[0,2]上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，(,1)2，(,0)，3(,-1)2，(2,0)考点二、三角函数的图象和性质名称sinyxcosyxtanyx定义域xRxR{|,}2xxkkZ应用三角函数的图象与性质正弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质正切函数的图象与性质第5页共11页值域[1,1][1,1](,)图象奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性单调增区间:[2,2]22kk(kZ)单调减区间:3[2,2]22kkkZ)单调增区间:[2,2]kk(kZ)单调减区间:(kZ)[2,2]kk(kZ)单调增区间：(,)22kk(kZ)周期性2T2TT对称性对称中心:(,0)k,kZ对称轴:2xk，kZ对称中心:(,0)2k,kZ对称轴:xk,kZ对称中心:(,0)2k,kZ对称轴：无最值2,2xkkz时，max1y；32,2xkkz时，min1y2,xkkz时，max1y；2,xkkz时，min1y无要点诠释：①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域．②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题.考点三、周期一般地，对于函数()fx，如果存在一个不为0的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有(+)=()fxTfx，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的第6页共11页最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）.要点诠释：应掌握一些简单函数的周期：①函数sin()yAx或cos()yAx的周期2T；②函数tan()yAx的周期T；③函数sinyx的周期=T；④函数tanyx的周期=T.三角函数的性质及其应用【知识网络】【考点梳理】考点一、函数sin()yAx(0A,0)的图象的作法1.五点作图法：作sin()yAx的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx，由t取0、2、、32、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。2．图象变换法：（1）振幅变换:把sinyx的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍（横坐标不变），得到sinyAx的图象；（2）相位变换:把sinyAx的图象上所有点向左(0)或向右(0)平行移动||个单位，得到sin()yAx的图象；（3）周期变换:把sin()yAx的图象上各点的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的1倍（纵坐标不变），可得到sin()yAx的图象.（4）若要作sin()yAxb，可将sin()yAx的图象向上(0)b或向下(0)b平移b个单sin()yAx图象的作法三角函数的性质及其应用sin()yAx图象的性质第7页共11页位，可得到sin()yAxb的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A1)横缩(ω1)”。要点诠释：由sinyx的图象利用图象变换作函数sin()yAx的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别.考点二、sin()yAx的解析式1.sin()yAx的解析式sin()yAx(0A,0)，[0,)x表示一个振动量时，A叫做振幅，2T叫做周期，12fT叫做频率，x叫做相位，0x时的相位称为初相.2.根据图象求sin()yAx的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0).求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T算出，然后将第一零点代入0x求出.要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算.考点三、函数sin()yAx(0A,0)的性质1.定义域:xR,值域:y∈[-A,A].2．周期性:2T3.奇偶性:2k时为偶函数；k时为奇函数，kZ.4．单调性:单调增区间:[22,22kk],kZ单调减区间:[232,22kk],kZ5.对称性:对称中心(k,0)，kZ；对称轴x=2k，kZ6．最值:当22xk即22kx时，y取最大值A当22xk即22kx时，y取最小值-A．(kZ).要点诠释：第8页共11页①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()yAx，要特别注意A、的正负，再把x看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。三角函数的最值与综合应用【知识网络】【考点梳理】考点一、三角函数的最值求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法：1.涉及正、余弦函数以及22sincossin()abab，其中tanba，都可以考虑利用有界性处理.2.22sinsincoscosyaxbxxxC型，经过降次、整理，得到22sin2cos2sin(2)yAxBxCABxC，其中tanBA，再利用有界性处理.3.形如2sinsinyaxbxc或2cossinyaxbxc的函数求最值时都可以通过适当变换，通过配方来求解.4.形如sincosxx，sincosxx在关系式中时，可考虑换元法处理，如令sincostxx，则21sincos2txx，把三角问题化归为代数