数值分析考试题

1数值分析考试题1一、填空题（每空2分，共30分）1.近似数230.2x关于真值229.2x有____________位有效数字；2.为了减少运算次数，应将表达式181611314181716242345xxxxxxxx改写为_________________________________________________________；为了减少舍入误差的影响，应将表达式19992001改写为__________________________；3.设)(xf可微，求方程)(xfx根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；4.对126)(3xxxf，差商]3,2,1,0[f_________________；5.已知1223,)3,2(AXT，则||||AX________________，)(1ACond______________________；6.用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；7.求解线性方程组04511532121xxxx的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径)(G_______________；8.为使两点数值求积公式：221100)()()(xfxfdxxf具有最高的代数精确度，其求积节点应为______________________________________________；9.记.,,1,0,,niihaxnabhi计算badxxf)(的复化梯形公式为________________________________________________；10.求积公式)]2()1([23)(30ffdxxf是否是插值型的__________，其代数精度为___________。二、（12分）1）设LUA，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。已知2100121001210012A，求L，U。2）设A为66矩阵，将A进行三角分解：LUA，L为单位下三角阵，U为上三角阵，试写出L中2的元素65l和U中的元素56u的计算公式。三、（12分）求作次数4的多项式)(xp，使满足插值条件：1)1(,1)1(,10)0(,2)0(,2)0(ppppp.并写出插值余项。四、（12分）线性方程组22112122bxxbxx.（1）请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。（2）设2，给定松弛因子21，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论收敛性。五、（10分）证明方程04ln2xx在区间[1,2]内有唯一的根x，试构造求x的迭代法，并证明所用的迭代格式是收敛的。六、（8分）证明解方程0)(23ax求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。七、（10分）(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccoscos()(xnxnxTn的三项递推关系式：),2,1()()(2)(,)(,1)(1110nxTxxTxTxxTxTnnn（2）若用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dxxxxI103)1(1的值，问节点数n取何值能得到积分的精确值？并计算它。八、（6分）若inxxxxxxxxf),())(()(10互异，求],,,[10pxxxf的值，这里.1np数值分析考试题2五、填空题（每空3分，共30分）1.设...,2139541.2*x取5位有效数字，则所得的近似值x_____；2.若1x，改变计算式1lglg2xx=___________________，使计算结果更为精确；3.已知1011A,则谱半径____,)(A)(1ACond__________；4.若线性代数方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____；35.设)133)(2()(23xxxxxf，用Newton迭代法求21x具有二阶收敛的迭代格式为____________________；求12x具有二阶收敛的迭代格式为___________________；6.过节点)3,2,1,0(,3ixxii的插值多项式为_____________；7.设,,2,1,0,,53)(2kkhxxxfk则_____],,[21nnnxxxf；8.利用抛物(Simpson)公式求212dxx=。六、（10分）确定一个次数不超过3的多项式)(xp，满足40)1(,10)1(,0)1(,1)0(pppp并给出误差。七、（14分）求,,,,2121xx使下面的求积公式为高斯型求积公式，并验证其代数精度恰为三次。)()()(221120xfxfdxxfx四、（10分）设*x是方程0)(xf的根，)(xf在*x的邻域内具有二阶连续导数，0)(*xf，0x在*x的邻域内，迭代),1,0()()(1nxfxfxxnnnn收敛到*x，试求2**1)(limxxxxnnn。五、（14分）给定线性方程组332123213122223bxxxbxxbxx试讨论用雅可比和赛德尔迭代法解此方程组的收敛性。如果收敛，请比较收敛速度。六、(12分)导出求解初值问题0)0(22yyxy的三阶数值计算方法。取步长h=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位。七、（10分）设A为严格对角占优阵，011a，经Gauss一步消元，A化为2110AaaT证明2A为严格对角占优阵。