人教版初中数学《三角函数》竞赛专题精讲与训练

第7章三角函数§7．1锐角三角函数7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19与cos70；（2）cot65与cos40；（3）cos1，tan46，sin88和cot38．解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70化sin20，再与sin19比大小．因为cos70cos9020sin20，而sin19sin20，所以sin19cos70．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小．32cot60cos4532，再将cot65，cos40分别与cot60，cos45比大小．因为3cot65cot603，3cos40cos453，所以cot60cos45，所以cot65cos40．（3）tan451，显然cos1，sin88均小于1，而tan46，cot38均大于1．再分别比较cos1与sin88，以及tan46与cot38的大小即可．因为cos38cot9052tan52，所以tan52tan46tan451．因为cos1cos9089sin89，所以sin88sin891，所以cot38tan46cos1sin88．评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30，45，60的三角函数值．7．1．2★化简求值：（1）tan1tan2tan3tan89；（2）21tan7sin83；（3）2222tansintansin；（4）12sin11cos11cos79sin79；（5）若tan3求2sinsin13sincos的值．解析（1）原式=tan1tan2tan3tan44tan45cot44cot43cot3cot2cot1tan1cot1tan2cot2tan44cot44tan451111．（2）原式222cos7sin71cos7cos71cos7cos7．（3）原式22442242222sinsinsinsincos1sinsinsin1cossincos．（4）原式=2sin11cos11sin11cos11sin11cos11sin11cos110．（5）原式2222sincossinsincossin13sincossincos3sincos2222tantan336tan13tan313319．评注同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．7．1．3★试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦．解析在锐角三角形里，显然有90AB，所以有9090AB．由于在0~90范围内，当A增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道sinsin90cosABB．同理可以证明其他的五组．7．1．4★下列四个数中哪个最大：A．tan48cot48B．sin48cos48C．tan48cos48D．cot48sin48解析显然0sin481，0cos4810cos48°1．因此有：sin48sin48tan48cos48，cos48cos48cot48sin48所以A最大．7．1．5★设x为锐角，且满足sin3cosxx，求sincosxx．解析我们将sin3cosxx代入22sincos1xx，得到210cos1x，并且x是锐角，因此1cos10x所以3sin10x．因此3sincos10xx．7．1．6★★在ABC△中，3CA，27BC，48AB．证明：2A是锐角，并计算cos2A的值．解析若290A≥，则45A≥，3135CA≥，于是180ABC，矛盾．为计算cos2A，必须构造出一个以2A为其一锐角的直角三角形．如图，过C作CD交AB于D，使ACDA，则32BCDAAA．ABCDE又CDBAACD=2ABCD所以27BDBC，21ADABBD，21DCAD．作BECD丄于E，则212CEDE，故217cos2cos5418CEABCEBC．7．1．7★已知sincos2，求sincos的值．解析由sincos2两边平方得22sincos2．又22sincos1，所以12sincos2，得1sincos2．评注（1）当已知sin与cos之间和或差的值时，常常考虑运用22sincos1转化问题．（2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题：已知2ab221ab，求ab的值．这里用三角函数式sin、cos来替代a、b，变化了一下问题的形式．因此，在解题时，弄清问题的本质是非常重要的．7．1．8★已知m为实数，且sin、cos是关于x的方程2310xmx的两根．求44sincos的值．解析由根与系数的关系知1sincos3．则有2244227sincossincos2sincos9．7．1．9★★设A、B是一个直角三角形的两个锐角，满足2sinsin2AB．求sinA及sinB的值．解析由于90AB，故由互余关系得sinsin90cosBAA．因此条件即为2sincos2AA，①将上式平方，得221sincos2sincos2AAAA，由正、余弦的平方关系，即有12sincos2AA，所以2223sincossincos2sincos12sincos2AAAAAAAA，因sinA、cosA均为正数，故sincos0AA．因此由上式得6sincos2AA，②由①、②得62sin4A，62cos4A，故62sin4B．评注本题也可如下解答：由①得2sincos2AA，两边平方，得221sincos2cos2AAA，③因22sin1cosAA，代入上式并整理，得212cos2cos02AA，④解得26cos4A．因cos0A，故只有62cos4A．由此及①得62sin4A．7．1．10★若存在实数x和y，使得222225sincos,43cossin,4xyaxya求实数a的所有可能值．解析把两式相加，得2358aa，解得1a，或83a（舍去）．当1a时，π4x，π6y满足方程．故1a．7．1．11★★已知关于x的一元二次方程22211120mxmx的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m的值．解析设方程的两个实根1x、2x分别是直角三角形ABC的锐角A、B的正弦．则22222212sinsinsincos190xxABAAAB，又122112mxxm，12122xxm，所以2222111212211242122mxxxxxxmm．化简得224230mm，解得1m或23．检验，当1m时，22114820mm△；当23m时，22114820mm△≥．所以23m．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和22sincos1列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．7．1．12★★已知方程2450xxk的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k．解析根据韦达定理，有12125,4.4xxkxx并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22121xx．于是有2222121212512244kxxxxxx．解得98k．7．1．13★★★若直角三角形中的两个锐角A、B的正弦是方程20xpxq的两个根；（1）那么，实数p、q应满足哪些条件？（2）如果p、q满足这些条件，方程20xpxq的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A、B的正弦？解析（1）设A、B是某个直角三角形两个锐角，sinA、sinB是方程20xpxq的两个根，则有240pq△≥．①由韦达定理，sinsinABp,sinsinABq．又sin0A，sin0B，于是0p，0q．由于sinsin90cosBAA．所以sincosAAp，sincosAAq，所以22sincos1sincos12pAAAAq，即221pq．由①得21240qpq≥，则12q≤．故所求条件是0p，102p≤，221pq．②（2）设条件②成立，则24120pqq≥，故方程有两个实根：241222ppqpq，241222ppqpq．由②知12pq，又121212qqqp≤，所以01212pqpq≤，故0≥．又2222221pq，故01≤．所以，、为直角三角形两个锐角的正弦．评注一般地，有sin90cos，cos90sin．即在RtABC△中90C，sincosAB，cossinAB．7．1．14★★已知方程24210xmxm的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m的值．解析设题中所述的两个锐角为A及B，由题设得241160,1coscos,2coscos.4mmmABmAB△≥因为cossinBA，故2,1cossin,2cossin,410mAAmAmmA可△≥取任意实数①②①式两边平方，并利用恒等式22sincos1AA，得221cossin12sincos4mAAAA．再由②得21124mm，解得3m．由cos0A，sin0A及②知0m．所以3m．7．1．15★★不查表，求15的四种三角函数值．解析30、45、60这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在ABC△中，90C，30ABC，延长CB到D，使BDBA，则1152DBADABC．ABCD130°15°设1AC，则2AB，3BC，2BD，所以 23CDCBBD，所以2222123843242323123162ADACCD．所以162sin15462ACAD，2362cos15462CDAD，1tan152323ACCD，cot1523CDAC