功率受限注水定理

功率受限“注水”定理1“注水”定理阐述“注水”定理适用于如下情形：1.1信道条件信道输入平稳随机序列12,,NXXXX，输出的平稳随机序列12,,NYYYY，噪声序列为12,,Nnnnn为零均值的高斯加性噪声。定义组合加性高斯白噪声信道（等价于多维无记忆高斯加型连续信道）为：信道中各单元时刻1,2,iN上的加性噪声为均值为零，方差为各不相同的1,2,niPiN的高斯噪声，且各分量统计独立。1.2约束条件当且仅当信道输入平稳随机序列12,,NXXXX中各分量统计独立，各加性噪声为均值为零，方差为各不相同的1,2,niPiN的高斯噪声时，信道容量为：2max;1log1(1.1)2iinsinCIXYPP1.3“注水”定理各个输入信号的总体平均功率21NiiEX受限，因此存在一个约束条件为21(1.2)NiiPEX要计算max;CIXY，就是计算式(1.1)在约束条件式(1.2)下的最大值。引用拉格朗日乘数法求解此问题，做辅助函数1221,,log1(1.3)2iNiinnsssssiinPJPPPPP其中2isiPEX为各个时刻的信号平均功率，为参数，即拉格朗日乘子，对辅助函数12,,NsssJPPP逐一求isP的导数，使之等于零：12,,01,2,(1.4)NissssJPPPiNP即得到：1101,2,(1.5)2iinsiNPP1(1.6)2iiisnnPPvP其中v为常数，由于式（1.6）中的isP可能为负值，这表明并联信道中，某一新到的平均噪声功率inP大于信道分配到的信号平均功率时，信号将淹没在噪声中而无法利用。只能令isP为大于等于零的数，故选取(1.7)iisnPvP而常数v由约束条件求得为211(1.8)iNNiniiPEXvP最终可得信道容量为21log1(1.9)2iinninvPCP“注水”定理是说明，当N个独立并联的组合加性高斯白噪声信道，各分信道的噪声平均功率不相等时，为达到最大的信息速率，要对输入信号的总能量进行适当的分配。分配按式（1.9）进行。