数学中考专题考点精讲精练第13节二次函数的综合应用二次函数表达式的确定(6年6考)1.待定系数法(1)三种表达式的适用条件已知条件选用表达式的形式形式已知抛物线上三点的坐标一般选用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)已知条件选用表达式的形式形式已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值一般选用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是抛物线的顶点坐标已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标一般选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标(2)用待定系数法求二次函数表达式的步骤:①设出合适的二次函数表达式;②根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);③解方程(组),求出待定系数的值,从而写出二次函数表达式.2.根据图象变化求二次函数表达式的方法(1)将已知表达式化为顶点式;(2)根据下表求出变化后的a,h,k.y=a(x-h)2+ka顶点(h,k)平移变换不变变x轴相反数(h,-k)轴对称变换y轴不变(-h,k)绕顶点180°相反数(h,k)旋转变换绕原点180°相反数(-h,-k)(3)将变化后的a,h,k代入顶点式中即可得到变化后的二次函数的表达式.二次函数与几何图形的综合(6年6考)二次函数与几何图形综合的应用题型很多,常见的类型有存在性问题、动点问题.涉及方程、函数、特殊三角形、相似三角形、特殊四边形等多方面的知识.解决这类综合应用问题的关键是要借助数学试题中所隐含的条件,运用数形结合、转化、方程等数学思想建立函数模型来解决.二次函数与几何图形结合命题解读:均为解答题,中考试卷中一般在第24题出现,主要考查:二次函数与图形的面积问题(含面积最值与面积平分)、二次函数与图形判定的问题、二次函数与三角形相似问题及与线段的最值问题.类型一二次函数与相似三角形问题1.[2019陕西,24]在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(c-a)x+c经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于原点O对称的抛物线为L′.(1)求抛物线L的表达式;解:将点A,B的坐标代入抛物线表达式得,9a-3c-a+c=0,c=-6,解得a=-1,c=-6,∴L:y=-x2-5x-6.(2)点P在抛物线L′上,且位于第一象限,过点P作PD⊥y轴,垂足为D.若△POD与△AOB相似,求符合条件的点P的坐标.解:∵点A,B在L′上的对应点分别为A′(3,0),B′(0,6),∴设抛物线L′的表达式为y=x2+bx+6,将A′(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=-5,∴抛物线L′的表达式为y=x2-5x+6,∴A(-3,0),B(0,-6),∴AO=3,OB=6,设点P(m,m2-5m+6)(m>0),∵PD⊥y轴,∴点D的坐标为(0,m2-5m+6),∵PD=m,OD=m2-5m+6,Rt△POD与Rt△AOB相似,①当△PDO∽△BOA时,PDOB=ODOA,即m=2(m2-5m+6),解得m=32或4.②当△PDO∽△AOB时,同理可得m=1或6.∵P1,P2,P3,P4均在第一象限,∴符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或32,34或(4,2).2.[2019榆林二模]如图,抛物线L:y=a(x-2)2+4(x0)的顶点为M,过点B(4,0),将抛物线L绕原点O旋转180°后得到抛物线L′,顶点为N,与x轴交于点A.(1)分别求出L,L′的函数表达式;解:把B(4,0)代入y=a(x-2)2+4得a=-1,∴抛物线L的函数表达式为y=-(x-2)2+4=-x2+4x,∴M(2,4).∵将抛物线L绕原点O旋转180°后得到抛物线L′,顶点为N,∴N(-2,-4),∴抛物线L′的函数表达式为y=(x+2)2-4=x2+4x.(2)点P在x轴上方的抛物线L上,连接PO并延长交抛物线L′于点Q,是否存在这样的点P,使得以点M,N,P,Q为顶点的四边形的面积为4?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:存在.设点P的坐标为(x,-x2+4x),则0x4,且x≠2.∵由中心对称性可知OM=ON,OP=OQ,∴以点M,N,P,Q为顶点的四边形为平行四边形.如答图,过点M和点P作x轴的垂线,分别交x轴于C和E两点,第2题答图①当2x4时,MC交OP于点D.∵MC⊥x轴,PE⊥x轴,∴MC∥PE,∴△PEO∽△DCO,∴PECD=OEOC,即-x2+4xCD=x2,∴CD=-2x+8,∴S△MOP=S△MOD+S△MPD=12×(OC·DM+CE·DM)=12×OE·DM=12x[4-(-2x+8)]=x2-2x,∴S▱MQNP=4S△MOP=4x2-8x=4.解得x1=1-2(舍去),x2=1+2,∴点P的坐标为(1+2,22+1).②同理,当0x2时,PE交OM于点D,易得点D的坐标为(x,2x),∴S△MOP=S△POD+S△MPD=12OE·PD+12CE·PD=12OC·PD=12×2×-x2+4x-2x=-x2+2x,∴S▱MQNP=4S△MOP=-4x2+8x=4,解得x3=x4=1.∴点P的坐标为(1,3).∴存在这样的点P,使得以点M,N,P,Q为顶点的四边形的面积为4,点P的坐标为(1+2,22+1)或(1,3).类型二二次函数与几何图形的面积问题3.[2018陕西,24]已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标,并求△ABC的面积;解:当y=0时,x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=2,∴A(-3,0),B(2,0),当x=0时,y=x2+x-6=-6,∴C(0,-6),∴S△ABC=12·AB·OC=12×(2+3)×6=15.(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L′,且L′与x轴相交于A′,B′两点(点A′在点B′的左侧),并与y轴相交于点C′,要使△A′B′C′和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.解:抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L′,∴A′B′=AB=5,∵△A′B′C′和△ABC的面积相等,∴OC′=OC=6,即C′(0,-6)或(0,6),设抛物线L′的表达式为y=x2+bx-6或y=x2+bx+6设点A′(m,0),B′(n,0),当m,n为方程x2+bx-6=0的两根时,∴m+n=-b,mn=-6,∵|n-m|=5,∴(n-m)2=25,∴(m+n)2-4mn=25,∴b2-4×(-6)=25,解得b=1或-1,∴抛物线L′的表达式为y=x2-x-6.当m,n为方程x2+bx+6=0的两根时,m+n=-b,mn=6,∵|n-m|=5,∴(n-m)2=25,∴(m+n)2-4mn=25,∴b2-4×6=25,解得b=7或-7,∴抛物线L′的表达式为y=x2+7x+6或y=x2-7x+6.综上所述,抛物线L′的解析式为y=x2-x-6或y=x2+7x+6或y=x2-7x+6.4.[2015陕西,24]在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+5x+4的顶点为M,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点.(1)求点A,B,C的坐标;解:令y=0,得x2+5x+4=0,∴x1=-4,x2=-1,令x=0,得y=4,∴A(-4,0),B(-1,0),C(0,4).(2)求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式;解:∵A,B,C关于坐标原点O对称后的点分别为A′(4,0),B′(1,0),C′(0,-4),∴设所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx-4,将A′(4,0),B′(1,0)代入y=ax2+bx-4,得16a+4b-4=0,a+b-4=0,解得a=-1,b=5.∴所求抛物线的函数表达式为y=-x2+5x-4.(3)设(2)中所求抛物线的顶点为M′,与x轴交于A′,B′两点,与y轴交于C′点,在以A,B,C,M,A′,B′,C′,M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中,求其中一个不是菱形的平行四边形的面积.解:如答图,取四点A,M,A′,M′,连接AM,MA′,A′M′,M′A,MM′,由中心对称性可知,MM′过点O,OA=OA′,OM=OM′,∴四边形AMA′M′为平行四边形,又知AA′与MM′不垂直,∴平行四边形AMA′M′不是菱形.过点M作MD⊥x轴于点D.第4题答图∵y=x2+5x+4=(x+52)2-94,∴M-52,-94,又∵A(-4,0),A′(4,0),∴AA′=8,MD=94.∴S平行四边形AMA′M′=2S△AMA′=2×12×AA′×MD=2×12×8×94=18.5.[2014陕西,24]已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B(0,3)两点,将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.(1)求抛物线C的表达式;解:∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B(0,3)两点,∴-9-3b+c=0,c=3,b=-2,c=3.故此抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.(2)求点M的坐标;解:∵由(1)知抛物线的表达式为y=-x2-2x+3,∴当x=-b2a=--22×-1=-1时,y=4,∴M(-1,4).(3)将抛物线C平移到抛物线C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M,N,M′,N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?解:由题意知,以点M,N,M′,N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′,∴MN∥M′N′且MN=M′N′.∴MN·NN′=16,∴NN′=4.①如答图,当以M,N,M′,N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时,将抛物线C向左或向右平移4个单位长度可得符合条件的抛物线C′;第5题答图②如答图,当以M,N,M′,N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时,将抛物线C先向左或向右平移4个单位长度,再向下平移8个单位长度,可得符合条件的抛物线C′.∴综上所述,四种平移均可得到符合条件的抛物线C′.类型三二次函数与特殊四边形问题6.[2017陕西,24]如答,在同一直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2-2x-3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A,B两点,其中点A在点B的左侧.第6题图(1)求抛物线C1,C2的函数表达式;解:∵抛物线C1,C2关于y轴对称,第6题答图∴抛物线C1与C2的交点一定在y轴上,且抛物线C1与C2的形状、大小均相同,∴a=1,n=-3,∴抛物线C1的对称轴为直线x=1,∴抛物线C2的对称轴为直线x=-1,∴m=2,∴抛物线C1的函数表达式为y=x2-2x-3,C2的函数表达式为y=x2+2x-3.(2)求A,B两点的坐标;解:令y=x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1.∵点A在点B的左侧,∴A(-3,0),B(1,0).(3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A,B,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P,Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.解:存在.如答图,设P(a,b),则点Q的坐标为(a+4,b)或(a-4,b).①当Q(a+4,b)时,得a2-2a-3=(a+4)2+2(a+4)-3.解得a=-2,∴b=a2-2a-3=4+4-3=5,∴P1(-2,5),Q1(2,5).②当Q(a-4,b)时,得a2-2a-3=(a-4)2+2(a-4)-3,解得a=2,∴b=4-4-3=-3,∴P2(2,-3),Q2(-2,-3).综上所述,所求的坐标为P1(-2,5),Q1(2,5)或P2(2,-3),Q2(-2,-3).类型四二次函数与特殊三角形问题7.一题多解[2016陕西,24]如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5).第7题图(1)试判断抛物线与x