相似矩阵及二次型

线性代数河南工程学院1第五章相似矩阵及二次型§5.4对称矩阵的对角化§5.3相似矩阵§5.2方阵的特征值与特征向量§5.1向量的内积、长度及正交性§5.5二次型及其标准形§5.6用配方法化二次型成标准形§5.7正定二次型线性代数河南工程学院2n维向量空间是三维向量空间的直接推广,但是只定义了线性运算,而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.§5.1向量的内积、长度及正交性引言我们希望把这两个概念推广到n维向量空间中.在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)),cos(yxyxyx建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积设TTyyyyxxxx),,(,),,(321321则332211yxyxyxyx线性代数河南工程学院3维向量设有nTnTnyyyyxxxx),,,(,),,,(2121xyyxyxyxyxyxTTnn2211,令.,的与为向量称yxyx内积一、内积的定义及性质定义线性代数河南工程学院4];,[],[)1(xyyx];,[],[)2(yxyx];,[],[],[)3(zyzxzyx.0],[,0,0],[)4(xxxxx有时且当性质著名的Cauchy-Schwarz不等式],][,[],[2yyxxyx即niiniiniiiyxyx121221线性代数河南工程学院5非负性.1齐次性.2三角不等式.3,],[22221nxxxxxx.或的维向量为称xnx长度范数;0,0;0,0xxxx时当时当;xx.yxyx二、向量的长度及性质定义性质(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114)线性代数河南工程学院6.,11为称时当xx单位向量yxyxyx],[arccos,0,02时当的与维向量称为yxn夹角.三、单位向量和n维向量间的夹角.,0],[yxyx与称向量时当正交.显然,0与任何向量都正交则若xx线性代数河南工程学院7四、正交向量组定义若一个不含零向量的向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．又如果这些向量都是单位向量,则称该向量组为规范正交向量组.若该向量组是一个向量空间V的基,又分别称为向量空间V的正交基和规范正交基.)(0],[jijir,,,211i线性代数河南工程学院8性质,0021111T由.01从而有.02r同理可得.,,,21线性无关故r使设有又r,,,2102211r得左乘上式两端以,1aT0111T证,α,,ααr21设是正交向量组正交向量组必线性无关.线性代数河南工程学院9例100200032132121AxxxxxxxxxTT解这相当于要求方程组的非零解12111121TTA求得基础解系(即为所求)为1013121,11121已知中两个正交向量3R试求使构成3321,,的一个正交基.3R线性代数河南工程学院10例2(例1的一般化,也称正交基的扩张定理)设是中的一个正交向量组,,证明必可找到个向量使构成的正交基.r,,,21nRnrrnnr,,1n,,,21nR都正交.证只需证必可找到使与01r1rr,,,21记TrTA1nrAr)(0Ax必有非零解.其任一非零解即为所求的1r线性代数河南工程学院11五、施密特正交化过程设是一组线性无关的向量,它就是它生成的向量空间r,,,21),,,(21rL的一个基(坐标系),如何在向量空间L中建立正交的基(坐标系)?这个问题就是…找与等价的正交向量组r,,,21r,,,21线性代数河南工程学院12以三个向量为例,从几何直观上去求.321,,112212111211上式两边与做内积,注意得10],[21],[],[11211从而1112122],[],[线性代数河南工程学院13我们已求得已正交,再求构造21,3123112222113)1(221133(1)式两边与内积,注意10],[],[3121],[],[11311得(1)式两边再与内积,类似可得2],[],[22322222321113133],[],[],[],[从而线性代数河南工程学院1411,,,1112122111122221111],[],[],[],[],[],[rrrrrrrrr222321113133],[],[],[],[施密特正交化方法设线性无关r,,,21令则两两正交,且与等价.r,,,21r,,,21??111/222/rrr/是与r,,,21等价的规范正交组线性代数河南工程学院15两两正交,可用数学归纳法严格证明.r,,,21与等价,这是因为(只需看三个)r,,,211111222r32231133rr1121122r22311333rr100101],,[],,[231312321321rrr1231312321321100101],,[],,[rrr线性代数河南工程学院16例3TTTaaa)1,1,5,3(,)4,0,1,1(,)1,1,1,1(321Tab1,1,1,1111112122,,bbbababTT1,1,1,111114114,0,1,1T3,1,2,0求的一个规范正交基,并求向量),,span(321aaa222321113133],[],[],[],[bbbabbbbababTTT3,1,2,014141,1,1,1481,1,5,3T0,2,1,1解易知线性无关,用施密特正交化方法321,,aaa再单位化111121111bb3120141222bb021161333bbTaaa)4,2,5,5(321在该规范正交基下的坐标.线性代数河南工程学院17当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后,求一个向量的坐标就特别方便332211两边分别与内积321,,],[],,[],,[332211(这里就不具体计算了)线性代数河南工程学院18六、正交矩阵定理A是正交矩阵EAATTAA1A的列组是规范正交组A的行组是规范正交组定义,为则称满足阶方阵若AEAAAnT正交矩阵.线性代数河南工程学院19EnTnTnTnnTTTnTTT212221212111njijijiijjTi,,2,1,,0,1当当],,,[21nA记EnTnTT],,,[2121EAAT证(只证第三条)线性代数河南工程学院20性质(1)A是正交矩阵，则和都是正交矩阵；1AA(2)A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)A是正交矩阵，则；1A(4)P是正交矩阵，则，nRxxPx,即正交变换保持向量的长度不变。线性代数河南工程学院21第五章相似矩阵及二次型§5.4对称矩阵的对角化§5.3相似矩阵§5.2方阵的特征值与特征向量§5.1向量的内积、长度及正交性§5.5二次型及其标准形§5.6用配方法化二次型成标准形§5.7正定二次型线性代数河南工程学院22§5.2方阵的特征值与特征向量引言如果存在可逆矩阵P使(1)式成立,此时称方阵A是可(相似)对角化的.],,,[11nP记,则],,,[],,,[)1(1111nnA12n),,1(niAiii本章主要讨论:对于方阵A能否找到(如何找)可逆矩阵PAPP112n(1)使得满足上式的称为A的特征值,称为A的对应于特征值的特征向量.iii线性代数河南工程学院23定义满足设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量x)1(xAx则称为A的特征值，非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值的特征向量。)2(0)(xAE把(1)改写为是A的特征值0AE使得(2)有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于的特征向量.线性代数河南工程学院24nnnnnnaaaaaaaaaAEf212222111211)(nnnnnnncccc)1()1(112211(注：第一章已求得，)nnaaac22111Acn称为A的特征多项式，而称为A的特征方程。0)(AEf由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有n个根(重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数范围恰有n个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。线性代数河南工程学院25性质nnnaaa221121)1(An21)2()())(()(21nAEf设n阶方阵特征值为)(ijaAn,,,21,则nnnnn21121)1()(Aaaannnnn)1()(12211又线性代数河南工程学院26例1求矩阵的特征值.0110A01112AE两个特征值为1,121问:特征向量是实的还是复的?线性代数河南工程学院27例2nnnnaaaaaa22211211A求A的特征值.AEnnnnaaaaaa222112110)())((2211nnaaa因此,n个特征值为nnnaaa,,,222111问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？线性代数河南工程学院28122113221B例3966636663A求矩阵A，B的特征值和特征向量。966636663AE解（对矩阵A）1016366633100630663331cc033230363666313rr线性代数河南工程学院293,3321A的特征值为对于，解方程组310)(1xAE000110101126660666031AEAE3231xxxx同解方程组为，令，得基础解系13xT)1,1,1(1因此，对应于特征值的所有特征向量为1)0(111kk