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1第四章大数定律与中心极限定理习题4.11．如果XXPn→，且YXPn→．试证：P{X=Y}=1．证：因|X−Y|=|−(Xn−X)+(Xn−Y)|≤|Xn−X|+|Xn−Y|，对任意的ε0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεYXPXXPYXPnn，又因XXPn→，且YXPn→，有02||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εXXPnn，02||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εYXPnn，则P{|X−Y|≥ε}=0，取k1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−kYXP，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−kYXP，故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧−==+∞→+∞=kYXPkYXPYXPkkI．2．如果XXPn→，YYPn→．试证：（1）YXYXPnn+→+；（2）XYYXPnn→．证：（1）因|(Xn+Yn)−(X+Y)|=|(Xn−X)+(Yn−Y)|≤|Xn−X|+|Yn−Y|，对任意的ε0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεYYPXXPYXYXPnnnn，又因XXPn→，YYPn→，有02||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εXXPnn，02||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εYYPnn，故0}|)()({|lim=≥+−++∞→εYXYXPnnn，即YXYXPnn+→+；（2）因|XnYn−XY|=|(Xn−X)Yn+X(Yn−Y)|≤|Xn−X|⋅|Yn|+|X|⋅|Yn−Y|，对任意的ε0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεYYXPYXXPXYYXPnnnnn，对任意的h0，存在M10，使得4}|{|1hMXP≥，存在M20，使得8}|{|2hMYP≥，存在N10，当nN1时，8}1|{|hYYPn≥−，因|Yn|=|(Yn−Y)+Y|≤|Yn−Y|+|Y|，有4}|{|}1|{|}1|{|22hMYYYPMYPnn≥+≥−≤+≥，存在N20，当nN2时，4)1(2||2hMXXPn⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当nmax{N1,N2}时，有2244}1|{|)1(2||2||||22hhhMYPMXXPYXXPnnnn=++≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，存在N30，当nN3时，42||1hMYYPn⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有244}|{|2||2||||11hhhMXPMYYPXYYPnn=+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，则对任意的h0，当nmax{N1,N2,N3}时，有hhhYYXPYXXPXYYXPnnnnn=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，故0}|{|lim=≥−+∞→εXYYXPnnn，即XYYXPnn→．3．如果XXPn→，g(x)是直线上的连续函数，试证：)()(XgXgPn→．证：对任意的h0，存在M0，使得4}|{|hMXP≥，存在N10，当nN1时，4}1|{|hXXPn≥−，因|Xn|=|(Xn−X)+X|≤|Xn−X|+|X|，则244}|{|}1|{|}1|{|hhhMXPXXPMXPnn=+≥+≥−≤+≥，因g(x)是直线上的连续函数，有g(x)在闭区间[−(M+1),M+1]上连续，必一致连续，对任意的ε0，存在δ0，当|x−y|δ时，有|g(x)−g(y)|ε，存在N20，当nN2时，4}|{|hXXPn≥−δ，则对任意的h0，当nmax{N1,N2}时，有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0MXMXXXPXgXgPnnn≥+≥≥−≤≥−≤UUδεhhhhMXPMXPXXPnn=++≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ，故0}|)()({|lim=≥−+∞→εXgXgPnn，即)()(XgXgPn→．4．如果aXPn→，则对任意常数c，有cacXPn→．证：当c=0时，有cXn=0，ca=0，显然cacXPn→；当c≠0时，对任意的ε0，有0||||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→caXPnnε，故0}|{|lim=≥−+∞→εcacXPnn，即cacXPn→．5．试证：XXPn→的充要条件为：n→+∞时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XXXXEnn．3证：以连续随机变量为例进行证明，设Xn−X的密度函数为p(y)，必要性：设XXPn→，对任意的ε0，都有0}|{|lim=≥−+∞→εXXPnn，对012+εε，存在N0，当nN时，εεε+≥−1}|{|2XXPn，则∫∫∫≥∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||yynndyypyydyypyydyypyyXXXXEεεεεεεεεεεεεε=+++≥−+−+=++≤∫∫≥11}|{|}|{|1)()(12||||XXPXXPdyypdyypnnyy，故n→+∞时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XXXXEnn；充分性：设n→+∞时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XXXXEnn，因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|yyyndyypyydyypdyypXXP⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1XXXXEdyypyynnεεεε，故0}|{|lim=≥−+∞→εXXPnn，即XXPn→．6．设D(x)为退化分布：⎩⎨⎧≥=.0,1;0,0)(xxxD试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n=1,2,…．）（1）{D(x+n)}；（2）{D(x+1/n)}；（3）{D(x−1/n)}．解：（1）对任意实数x，当n−x时，有x+n0，D(x+n)=1，即1)(lim=++∞→nxDn，则{D(x+n)}的极限函数是常量函数f(x)=1，有f(−∞)=1≠0，故{D(x+n)}的极限函数不是分布函数；（2）若x≥0，有01+nx，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+nxD，即11lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→nxDn，若x0，当xn1−时，有01+nx，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+nxD，即01lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→nxDn，则⎩⎨⎧≥=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01limxxnxDn这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，4故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+nxD1的极限函数是分布函数；（3）若x≤0，有01−nx，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−nxD，即01lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→nxDn，若x0，当xn1时，有01−nx，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−nxD，即11lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→nxDn，则⎩⎨⎧≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01limxxnxDn在x=0处不是右连续，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−nxD1的极限函数不是分布函数．7．设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于连续的分布函数F(x)，试证：{Fn(x)}在(−∞,+∞)上一致收敛于分布函数F(x)．证：因F(x)为连续的分布函数，有F(−∞)=0，F(+∞)=1，对任意的ε0，取正整数ε2k，则存在分点x1x2…xk−1，使得1,,2,1,)(−==kikixFiL，并取x0=−∞，xk=+∞，可得kkikxFxFii,1,,2,1,21)()(1−==−−Lε，因{Fn(x)}弱收敛于F(x)，且F(x)连续，有{Fn(x)}在每一点处都收敛于F(x)，则存在N0，当nN时，1,,2,1,2|)()(|−=−kixFxFiinLε，且显然有20|)()(|00ε=−xFxFn，20|)()(|ε=−kknxFxF，对任意实数x，必存在j，1≤j≤k，有xj−1≤xxj，因2)()()()(2)(11εε+≤≤−−−jjnnjnjxFxFxFxFxF，则εεεε−=−−−−−−222)()()()(1xFxFxFxFjn，且εεεε=++−−222)()()()(xFxFxFxFjn，即对任意的ε0和任意实数x，总存在N0，当nN时，都有|Fn(x)−F(x)|ε，故{Fn(x)}在(−∞,+∞)上一致收敛于分布函数F(x)．8．如果XXLn→，且数列an→a，bn→b．试证：baXbXaLnnn+→+．证：设y0是FaX+b(y)的任一连续点，则对任意的ε0，存在h0，当|y−y0|h时，4|)()(|0ε−++yFyFbaXbaX，又设y是满足|y−y0|h的FaX+b(y)的任一连续点，因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+abyFabyXPybaXPyFXbaX}{)(，有abyx−=是FX(x)的连续点，且XXLn→，有)()(limxFxFXXnn=+∞→，存在N1，当nN1时，4|)()(|ε−xFxFXXn，即4|)()(|ε−++yFyFbaXbaXn，5则当nN1且|y−y0|h时，2|)()(||)()(||)()(|00ε−+−≤−++++++yFyFyFyFyFyFbaXbaXbaXbaXbaXbaXnn，因X的分布函数FX(x)满足FX(−∞)=0，FX(+∞)=1，FX(x)单调不减且几乎处处连续，存在M，使得FX(x)在x=±M处连续，且41)(ε−MFX，4)(ε−MFX，因XXLn→，有41)()(limε−=+∞→MFMFXXnn，4)()(limε−=−+∞→MFMFXXnn，则存在N2，当nN2时，41)(ε−MFnX，4)(ε−MFnX，可得2)(1)(}|{|ε−+−=MFMFMXPnnXXn，因数列an→a，bn→b，存在N3，当nN3时，Mhaan4||−，4||hbbn−，可得当nmax{N2,N3}时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+2|)()(|2|)()(|hbbXaaPhbaXbXaPnnnnnnn2}|{|24||42||||||ε=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+⋅−≤MXPhhXMhPhbbXaaPnnnnn，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000hbaXbXahybaXPybXaPyFnnnnnnnnbXannnU222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+hyFhbaXbXaPhybaXPbaXnnnnnn，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000hbaXbXaybXaPhybaXPhyFnnnnnnnnbaXnU2)(2|)()(|}{00ε+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−++≤+≤+yFhbaXbXaPybXaPnnnbXannnnnnn，即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++hyFyFhyFbaXbXabaXnnnnn，因当nN1且|y−y0|h时，2)()(2)(00εε+−+++yFyFyFbaXbaXbaXn，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++hyhy00,2取FaX+b(y)的任一连续点y1，满足|y1−y0|h，当nmax{N1,N2,N3}时，εεε++≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++++)(2)(22)(0100yFyFhyFyFbaXbaXbaXbXannnnn，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00hyhy取FaX+b(y)的任一连续点y2，满足|y2−y0|h，当nmax{N1,N2,N3}时，6εεε−−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++++)(2)(22)(0200yFyFhyFyFbaXbaXbaXbXannnnn，即对于FaX+b(y)的任一连续点y0，当nmax{N1,N2,N3}时，ε−++|