线性代数与解析几何

线性代数与解析几何§2.4Cramer法则沈超Email:[e-mail]轨道交通控制与安全国家重点实验室
北京交通大学2019年10月8日STATEKEYLABOFRAILTRAFFICCONTROL&SAFETY轨道交通控制与安全国家重点实验室第一章&第二章第一章矩阵及其初等变换§1.1矩阵及其运算§1.2高斯消元法与矩阵的初等变换§1.3逆矩阵§1.4分块矩阵第二章行列式§2.1n阶行列式的定义§2.2行列式的性质与计算§2.3Laplace展开定理§2.4Cramer准则§2.5矩阵的秩沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日2/36伴随矩阵(AdjointMatrix)定理1设A=(aij)n;n,则ai1Aj1+


+ainAjn={detA;如果i=j,(1a)0;如果i̸=j.(1b)证：detA=a11a12


a1n.........ai1ai2


ain.........aj1aj2


ajn.........an1an2


ann(2)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日3/36伴随矩阵(AdjointMatrix)证：设i̸=j,那么ai1Aj1+


+ainAjn=a11a12


a1n.........ai1ai2


ain.........ai1ai2


ain.........an1an2


ann=0:(3)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日4/36伴随矩阵(AdjointMatrix)以矩阵的方式表示ai1Aj1+


+ainAjn={detA;如果i=j,(4a)0;如果i̸=j,(4b)8i;j2f1;2;:::;ng.沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日5/36伴随矩阵(AdjointMatrix)定理2设A为n阶矩阵,A=26664A11A21


An1A12A22


An2............A1nA2n


Ann37775为A的伴随矩阵,则AA=AA=(detA)I:沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日6/36伴随矩阵(AdjointMatrix)证：AA=26664a11a12:::a1na21a22:::a2n............an1an2:::ann3777526664A11A21:::An1A12A22:::An2............A1nA2n:::Ann37775(5a)=26664jAjjAj...jAj37775(5b)=(detA)I(5c)=AA(5d)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日7/36伴随矩阵(AdjointMatrix)证：AA=26664a11a12:::a1na21a22:::a2n............an1an2:::ann3777526664A11A21:::An1A12A22:::An2............A1nA2n:::Ann37775(5a)=26664jAjjAj...jAj37775(5b)=(detA)I(5c)=AA(5d)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日7/36伴随矩阵(AdjointMatrix)定理3方阵A可逆的充要条件为detA̸=0.当A可逆时A1=1detAA:证：A可逆的充要条件为jAj̸=0.（前面已证）当A可逆时,jAj̸=0,则由AA=(detA)I和逆矩阵的定义得：A1=1detAA沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日8/36伴随矩阵(AdjointMatrix)定理3方阵A可逆的充要条件为detA̸=0.当A可逆时A1=1detAA:证：A可逆的充要条件为jAj̸=0.（前面已证）当A可逆时,jAj̸=0,则由AA=(detA)I和逆矩阵的定义得：A1=1detAA沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日8/36伴随矩阵(AdjointMatrix)根据伴随矩阵定义AA=(detA)I可以得到A=jAj(A)1;A1=1jAjA(6)A=jAjA1;(A)1=1jAjA(7)(A1)=jA1j(A1)1=1jAjA=(A)1(8)jAAj=jAjjAj=jAjn)jAj=jAjn1(9)(A)=jAj(A)1=jAjn1AjAj=jAjn2A:(10)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日9/36伴随矩阵(AdjointMatrix)根据伴随矩阵定义AA=(detA)I可以得到A=jAj(A)1;A1=1jAjA(6)A=jAjA1;(A)1=1jAjA(7)(A1)=jA1j(A1)1=1jAjA=(A)1(8)jAAj=jAjjAj=jAjn)jAj=jAjn1(9)(A)=jAj(A)1=jAjn1AjAj=jAjn2A:(10)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日9/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:求A=[abcd]的逆矩阵,其中adbc̸=0.解:利用A1=jAj1A求解.jAj=abcd=adbc̸=0)A1存在。A1=1jAjA(11a)=1adbc[A11A21A12A22](11b)=1adbc[dbca](11c)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日10/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:求A=[abcd]的逆矩阵,其中adbc̸=0.解:利用A1=jAj1A求解.jAj=abcd=adbc̸=0)A1存在。A1=1jAjA(11a)=1adbc[A11A21A12A22](11b)=1adbc[dbca](11c)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日10/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:求A=[abcd]的逆矩阵,其中adbc̸=0.解:利用A1=jAj1A求解.jAj=abcd=adbc̸=0)A1存在。A1=1jAjA(11a)=1adbc[A11A21A12A22](11b)=1adbc[dbca](11c)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日10/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:A=2413724337235是否可逆？若可逆则求A1:解:detA=196̸=0;所以A可逆。A1=1detAA=119624295519523172621035;(12)其中A=24A11A21A31A12A22A32A13A23A3335沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日11/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:A=2413724337235是否可逆？若可逆则求A1:解:detA=196̸=0;所以A可逆。A1=1detAA=119624295519523172621035;(12)其中A=24A11A21A31A12A22A32A13A23A3335沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日11/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:设A1=2411112111335,求(A)1.解:A1存在，所以detA̸=0.根据AA=(detA)I得A1=AjAj,则(A)1=1jAjA(13)=jA1j(A1)1(14)=jA1j(A1)jA1j(15)=(A1)(16)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日12/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:设A1=2411112111335,求(A)1.解:A1存在，所以detA̸=0.根据AA=(detA)I得A1=AjAj,则(A)1=1jAjA(13)=jA1j(A1)1(14)=jA1j(A1)jA1j(15)=(A1)(16)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日12/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:矩阵B=24231135151135是否可逆？解:由于jBj=2311351511=07210261511=0;(17)故B不可逆.沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日13/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:矩阵B=24231135151135是否可逆？解:由于jBj=2311351511=07210261511=0;(17)故B不可逆.沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日13/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:已知A=2666641000002000003000004000005377775求A1.解:因jAj=5!̸=0;故A1存在,A1=1jAjAA=2666641000002000003000004000005377775(18)A22=1345;(19)A43=0(20)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日14/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:已知A=2666641000002000003000004000005377775求A1.解:因jAj=5!̸=0;故A1存在,A1=1jAjAA=2666641000002000003000004000005377775(18)A22=1345;(19)A43=0(20)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日14/36伴随矩阵(AdjointMatrix)A=2666642
3
4
5000001
3
4
5000001
2
4
5000001
2
3
5000001
2
3
4377775A1=15!2666642
3
4
5000001
3
4
5000001
2
4
5000001
2
3
5000001
2
3
4377775=26666410000012000001300000140000015377775:沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日15/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:设A=2412322134335;B=[2153];C=2413203135,求矩阵X使满足AXB=C:解:求数x使满足axb=c当a̸=0;b̸=0时，x=a1cb1求矩阵X使满足AXB=C当jAj̸=0;B̸=0时，X=A1(AXB)B1=A1CB1(21)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer法则2019年10月8日16/36伴随矩阵(AdjointMatrix)例:设A=2412322134335;B=[2153];C=2413203135,求矩阵X使满足AXB=C:解:求数x使满足axb=c当a̸=0;b̸=0时，x=a1cb1求矩阵X使满足AXB=C当jAj̸=0;B̸=0时，X=A1(AXB)B1=A1CB1(21)沈超(RCS
BJTU)§2.4Cramer