第三章-人寿保险趸缴净保费的厘定

第三章人寿保险趸缴净保费的厘定将死亡风险、利率风险和赔付金额风险表示成剩余寿命的函数形式，构造精算模型，不仅适用于寿险领域，在经济、金融、信用等其它领域有借鉴作用。第一节人寿保险趸缴净保费的厘定原理净均衡原理净保费：补偿保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分。附加保费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需要的缴费部分。理论上，保险费又称为总保险费或毛保费，可分为净保费和附加保费两部分。保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金。（Arrow:风险转移公平原则）趸缴净保费：在保单生效日，被保险人一次性缴付的、恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。趸缴净保费的厘定假定条件:假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。:tb赔付金额:tv贴现函数:t保险事故发生时刻tttzbv赔付现值函数：()()ttzEzzftdt期望赔付额（趸缴净保费）：死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。第二节死亡即刻赔付趸缴净保费的厘定原理1.终身寿险基本函数关系假定：岁的人，保额1元终身寿险)(x,0,01,0tttttttvvtzbvvtbt保险人对被保险人在投保之后任意时刻发生的，保险责任范围内的死亡事故，均给付保险赔付金的险种。例.（x）岁客户购买终身寿险，死亡即刻给付1。假设恒定利息力为，寿命服从（0，w）的隶莫佛分布，缴纳的保费为P元，求缴纳保费大于赔付现值。(0)趸缴净保费000()()xttTwwtttxxttxxtAEzzftdtvpdtepdt现值随机变量的方差方差等价公式22220()()()()()wttttTtVarzEzEzeftdtEz记220()wtxTAeftdt22()()txxVarzAA1,060(t)600,Ttf其它0.90.91(2)()(3)Pr()0.9.xttAVarzz（）的计算例.设(x)投保终身寿险，保险金额为1元。保险金在死亡即刻赔付,利息力已知签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为(1)xkA（4）假设有100个（x）独立同分布的个体购买了该保险，每人缴纳的实际保费等于，其中k是附加的一个安全保障系数。在大样本场合正态分布假定下，要使总保费有95%的概率足够支付死亡赔付，计算k的值。22602201206022()()1()6011()12060txxtxVarzAAedtAee（）060600(1)()116060txTtAeftdteedt0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr()ln=Pr(lnln)()lnln60ln()0.960ln6lnttTvzvtvPtvvftdtvve2.定期寿险基本函数关系趸缴净保费假定：岁的人，保额1元n年定期寿险)(x,0,1,0,0,tttttttvvtvtnzbvtnbtntn1:000()()nxnttTnntttxxttxxtAEzzftdtvpdtepdtn年定期寿险指保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称n年死亡保险。22220()()()()()nttttTtVarzEzEzeftdtEz2112::()()txnxnVarzAA现值随机变量的方差dttfeAnTtnx)(021:2记方差等价公式3.n年定期生存险趸缴净保费定义：被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付生存赔付金的险种。假定：岁的人，保额1元，n年生存险)(x0,0,1,,ttttntntnbzbvtnvtn11::()()nnxnxtnxnxnAAEzvpep222222112::()()()()()nntttnxnxnnxnxxnxnVarzEzEzvpvpvpqAA随机变量现值方差基本函数关系4.n年定期两全保险趸缴净保费基本函数关系假定：岁的人，保额1元，n年两全保险)(x,,,,ttttttnnvtnvtnvzbvvtnvtn11::312:()()()xnxnxnEzEzEzAAA定义：n年定期寿险和n年定期生存险的组合。指被保险人投保后若在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付死亡赔付金；若被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付生存赔付金的保险。11312::2112211211::::::21212:::()()()2()()2()xxnnxxnnxnxnxnxnxnxnxnVarzVarzVarzAAAAAAAAAAA现值随机变量方差100(0100)xlxx例.(40)岁投保20年两全保险。死亡即刻赔付5万元，期末生存赔付1万元。设死亡由所描述，利息力。计算该险种趸缴净保费和赔付现值的方差。0.055.延期n年终身寿险基本函数关系趸缴净保费假定：岁的人，保额1元延期n年终身寿险)(x,0,ttttvtnzbvtn0011::()()()()wxnxttTnwxntTtTxxnxnxnAEzzftdtzftdtzftdtAAAA22()()txxnnVarzAA方差公式定义：保险人只对被保险人在投保n年后发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种。例.假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知求:0.040.06(),0xSxex，0.510(1);(2)Var();(3).xttAzz的中位数0.040.060.040.11010100.161020.120.041010221010()(1)()0.04()0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16()()0.0288tTtttxtttxtxxSxtfteSxAeedtedteAeedtVarzAA6.延期m年的n年定期保险0,,tttttmzbvvmtmn假定：岁的人，保额1元，延期m年n年定期寿险)(x趸缴净保费1:001111::::()()()()mnmxnttTmmnmtTtTxmnxmxmnxmAEzzftdtzftdtzftdtAAAA2）定期生存险：x+m+n岁还存活给予生存赔付；1）定期寿险：x+m~x+m+n发生死亡事故给予死亡赔付；3）定期两全险：寿险和生存险的组合；0,,tttmntmnzbvvtmn假定：岁的人，保额1元，延期m年n年生存险)(x趸缴净保费111|:::()mnmtmnxxnxnxmnAEzvpAA2112||::()()tmmxnxnVarzAA现值随机变量方差2112||::()()tmmxnxnVarzAA现值随机变量方差延期m年n年两全险111|:|:|:::mxnmxnmxmnxnxmAAAAA延期m年n年两全险方差21212|||:::()()tmmmxnxnxnVarzAAA01)2.5%;2);3)10.0.xe死亡力恒定例.已知:计算20|xA7.递增寿险趸缴净保费一年递增一次（n年定期寿险）假定赔付金额为剩余寿命的线性递增函数[1],0,tttvtnztn1:0110()()[1](1)ntttxxtxnknttxxtkkIAEztvpdtkvpdt11::1nxkxnkkAA趸缴净保费一年递增无穷多次（n年定期寿险）,0,tttvtnztn1:0()()ntttxxtxnIAEztvpdt例.已知0.06,0.04,0.xtt试计算11:2:2()()xxIAIA趸缴净保费{[]},0,ttntvtnztn1:011()()(1)ntttxxtxnknttxxtkkDAEzntvpdtnkvpdt1:1nxkkA8.n年递减定期寿险(),0,ttntvtnztn1:0()()()ntttxxtxnDAEzntvpdt一年递减无穷多次（n年定期寿险）趸缴净保费死亡年末赔付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命。基本符号111kkkzbvkxK)(岁投保的人整值剩余寿命x1kb保险金在死亡年末给付函数1kv贴现函数1kz保险赔付金在签单时的现值1()kEz趸缴净保费第三节死亡年末赔付趸缴净保费的厘定原理1.定期寿险记k为被保险人整值剩余寿命，则基本函数关系1111111,0,1,,11,0,1,,10,,1,,0,1,,10,,1,kkkkkkkvvknknbknnvknzbvknn1111:0111:0()nkkkxxkxnknkxxkxnkAEzvpqlAvd趸缴净保费假定：岁的人，保额1元n年定期寿险)(x随机变量的方差1222(1)211110()()()()nkkkkkxxkkkVarzEzEzvpqEz1212(1):0nkkxxkxnkAvpq记21121::()()kxnxnVarzAA11|0wxkxkxkAvq终身寿险111||:wxkmxkxxxmkmAvqAA延期m年终身寿险1111|:::0nknkxnxxnxnxnkAvqvpAAn年两全保险延期m年n年两全保险11111||||:::::mnkmnmkxmnxmmxnxnxnxmxmnkmAvqvpAAAA递增终身寿险（一年递增一次）1111||:00()(1)wxwxkxkxjxwjkjIAkvqA递减n年定期寿险（一年递减一次）11111|::00()()nnkkxxnxnjkjDAnkvqA1000(1),10%105xxli例.某人在40岁时购买了保额为20000元的终身寿险，假设求趸缴净保费例：岁的人投保3年定期寿险，已知：)(x(1)0.06;(2)0.03(1),0,1,2;xkiqkk死亡年末支付，各年赔付额：kbk+1030013502400试计算赔付现值随机变量的均值和方差。单纯死亡风险死亡年末给付与死亡时给付之间的关系(UDD)11::(2);xnxniAA(1);xxiAA||(3);nxnxiAA11:::(4);xnxnxniAAA一般第四节死亡时赔付与死亡年末赔付的关系11::(1)()();xnxniIAIA(2)()()