椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab22性质二：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则2tan221bSPFF.证明：记2211||,||rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bcarr由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF..2tan221bSPFF同理可证，在椭圆12222bxay（a＞b＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则.21cos2e性质三证明：设,,2211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：1222242)(2cos212221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrr.2112221)2(222222222122eacarrca命题得证。例1.若P是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求△21PFF的面积.例1．解法一：在椭圆16410022yx中，,6,8,10cba而.60记.||,||2211rPFrPF点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.20221arr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr从而.325621rr.336423325621sin212121rrSPFF解法二：在椭圆16410022yx中，642b，而.60.336430tan642tan221bSPFF例2.已知P是椭圆192522yx上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121PFPFPFPF，则△21PFF的面积为（）A.33B.32C.3D.33解：设21PFF，则21||||cos2121PFPFPFPF，.60.3330tan92tan221bSPFF故选答案A.例3.已知椭圆191622yx的左、右焦点分别是1F、2F，点P在椭圆上.若P、1F、2F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A.59B.779C.49D.49或779解：若1F或2F是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长492ab；若P是直角顶点，设点P到x轴的距离为h，则945tan92tan221bSPFF，又,7)2(2121hhcSPFF97h，.779h故选D.1.椭圆1244922xy上一点P与椭圆两个焦点1F、2F的连线互相垂直，则△21PFF的面积为（）A.20B.22C.28D.24解：24,90221bPFF，2445tan242tan221bSPFF.故选D.2.椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F，P是椭圆上一点，当△21PFF的面积为1时，21PFPF的值为（）A.0B.1C.3D.6解：设21PFF，12tan2tan221bSPFF，90,452，021PFPF.故选A.3.椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F，P是椭圆上一点，当△21PFF的面积最大时，21PFPF的值为（）A.0B.2C.4D.2解：3,1,2cba，设21PFF，2tan2tan221bSPFF，当△21PFF的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，120，2120coscos||||22121aPFPFPFPF.故答案选D.4．已知椭圆1222yax（a＞1）的两个焦点为1F、2F，P为椭圆上一点，且6021PFF，则||||21PFPF的值为（）A．1B．31C．34D．32解：6021PFF，1b，3330tan2tan221bSPFF，又||||43sin||||21212121PFPFPFPFSPFF，33||||4321PFPF，从而34||||21PFPF.故答案选C.5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F、2F为焦点，点P在椭圆上，直线1PF与2PF倾斜角的差为9021PFF，△21PFF的面积是20，且c/a=√5/3，求椭圆的标准方程.解：设21PFF，则90.2045tan2tan22221bbbSPFF，又3522abaace，95122ab，即952012a.解得：452a.所求椭圆的标准方程为1204522yx或1204522xy.专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A.22B.32C.53D.631.解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，∴ca＝22.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.152.解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝35或e＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．3.解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝ca＝45.答案：454.已知A为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．4.解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4m.又在Rt△AF1F2中，|F1F2|＝|AF1|2－|AF2|2＝22m.∴e＝2c2a＝|F1F2|2a＝22m4m＝22.5．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．5.解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，23b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋49b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋49b2＋23b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以b2a2＝49.∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝59，∴e＝53.法二：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则M(c，23b)．代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，所以c2a2＝59，所以ca＝53，即e＝53.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：yF1OF2xP