1最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马?【问题引入】“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。【问题描述】如图,将军在图中点A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短?AB将军军营河【问题简化】如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小?PBA【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.【问题解决】作点A关于直线的对称点A’,连接PA’,则PA’=PA,所以PA+PB=PA’+PBA'ABP2当A’、P、B三点共线的时候,PA’+PB=A’B,此时为最小值(两点之间线段最短)折点端点A'PBA【思路概述】作端点(点A或点B)关于折点(上图P点)所在直线的对称,化折线段为直线段.二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.MNP''P'NMBAPOOPAB此处M、N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’,当P’、M、N、P’’共线时,△PMN周长最小.【例题】如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为___________.POBAMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值,此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’,化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M.3P'P''NMABOP当P’、N、M、P’’共线时,得△PMN周长的最小值,即线段P’P’’长,连接OP’、OP’’,可得△OP’P’’为等边三角形,所以P’P’’=OP’=OP=8.POBAMNP''P'【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。Q'P'MNBAPOQQOPABNM考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似,分别作点P、Q关于OA、OB对称,化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’,当P’、M、N、Q’共线时,四边形PMNQ的周长最小。【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。P'MNBAPOOPABNM4此处M点为折点,作点P关于OA对称的点P’,将折线段PM+MN转化为P’M+MN,即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN最小值(点到直线的连线中,垂线段最短)三、几何图形中的将军饮马【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】1.正方形中的将军饮马【关于对角线对称】如图,正方形ABCD的边长是4,M在DC上,且DM=1,N是AC边上的一动点,则△DMN周长的最小值是___________.NMDCBA【分析】考虑DM为定值,故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值.点N为折点,作点D关于AC的对称点,即点B,连接BN交AC于点N,此时△DMN周长最小.NABCDM【假装不存在的正方形】(2019·山东聊城)如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),点C在边AB上,且AC:CB=1:3,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()5yxPODCBAA.(2,2)B.5(2,5)2C.8(3,8)3D.(3,3)【分析】此处点P为折点,可以作点D关于折点P所在直线OA的对称:D'ABCDOPxy也可以作点C的对称:C'ABCDOPxy【隐身的正方形】(2017·辽宁营口)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为()PDCBAA.4B.5C.6D.76【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C’,当C’、P、D共线时,PC+PD最小,最小值为5,故选B.C'PDCBA2.三角形中的将军饮马【等边系列】如图,在等边△ABC中,AB=6,N为AB上一点且BN=2AN,BC的高线AD交BC于点D,M是AD上的动点,连结BM,MN,则BM+MN的最小值是___________.ABCDMN【分析】M点为折点,作B点关于AD的对称点,即C点,连接CN,即为所求的最小值.ABCDMN过点C作AB垂线,利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7.HNMDCBA【隐身的等边三角形】7如图,在Rt△ABD中,AB=6,∠BAD=30°,∠D=90°,N为AB上一点且BN=2AN,M是AD上的动点,连结BM,MN,则BM+MN的最小值是___________.NMDBA【分析】对称点并不一定总是在已知图形上.ABCDMN【角分线系列之点点】(2018·山东潍坊)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6.AB=12,AD平分∠CAB,点F是AC的中点,点E是AD上的动点,则CE+EF的最小值为()EAFCDBA.3B.4C.33D.23【分析】此处E点为折点,可作点C关于AD的对称,对称点C’在AB上且在AB中点,化折线段CE+EF为C’E+EF,当C’、E、F共线时得最小值,C’F为CB的一半,故选C.C'AFECDB8【角分线系列之点线】(2018·辽宁营口)如图,在锐角三角形ABC中,BC=4,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,交AC于点D,M、N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是()NMDCBAA.3B.2C.23D.4【分析】此处M点为折点,作点N关于BD的对称点,恰好在AB上,化折线CM+MN为CM+MN’.N'ABCDMN因为M、N皆为动点,所以过点C作AB的垂线,可得最小值,选C.NMDCBAN'93.矩形、菱形中的将军饮马【菱形高】(2018广西贵港)如图,在菱形ABCD中,AC=62,BD=6,E是BC的中点,P、M分别是AC、AB上的动点,连接PE、PM,则PE+PM的最小值是()EPDCBAMA.6B.33C.26D.4.5【分析】此处P为折点,作点M关于AC的对称点M’,恰好在AD上,化折线EP+PM为EP+PM’.M'EPDCBAM当E、P、M’共线时,EP+PM最小,最小值即为菱形的高,可用面积法:AC·BD/2=BC·EM’M'MABCPE10【折点在边上】(2017山东菏泽)如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是()EODCBAxyA.4(0,)3B.5(0,)3C.(0,2)D.10(0,)3【分析】点E为折点,E是y轴上一点,作点D关于y轴的对称点D’,连接AD,与y轴交点即为所求E点.D'EODCBAxy【折点与面积】(2019西藏)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,动点P满足13PABABCDSS矩形,则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为()DCBAPA.213B.210C.35D.41【分析】由13PABABCDSS矩形可作出P点轨迹为直线MN(AM=BN=2),作点B关于MN的对称点B’,化折线PA+PB为PA+PB’.11B'MNDCBAP当A、P、B’共线时,取到最小值,选A.64PABCDNMB'【全等与对称】(2017江苏南通)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()HFGEDCBAA.55B.105C.103D.153【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形,即求EH+EF最小值,此处E为折点,作F关于AB对称点F’,则BF’=BF=DH=CM,∴MF’=BC=5,MH=DC=10,∴HF’为5倍根号5,周长最小值为10倍根号5,故选B.510F'MHFGEDCBA12四、特殊角的对称【60°角的对称】(2018滨州)如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=3,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()ABMOPNA.362B.332C.6D.3【分析】此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA的对称点P’、P’’,化△PMN周长为P’N+NM+MP’’.P''P'ABMOPN当P’、N、M、P’’共线时,得最小值,利用60°角翻倍得∠P’OP’’=120°,OP’=OP’’=OP,可得最小值.333120°NPOMBAP'P''13【30°角的对称】(2017湖北随州)如图,∠AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(3,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,∠AOB=30°,要使PM+PN最小,则点P的坐标为.NMPOBAxy【分析】此处点P为折点,作点M关于OA的对称对称点M’如图所示,连接PM’,化PM+PN为PM’+PN.30°30°M'NMPOBAxy当M’、P、N共线时,得最小值,又∠M’ON=60°且ON=2OM’,可得∠OM’N=90°,故P点坐标可求.MyxABOPNM'30°30°14【20°角的对称】如图,已知正比例函数y=kx(k0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°,定点A的坐标为(0,4),P为y轴上的一个动点,M、N为函数y=kx(k0)的图像上的两个动点,则AM+MP+PN的最小值为____________.PAMNOxy【分析】先考虑M为折点,作点P关于OM对称点P’,化AM+MP+PN为AM+MP’+P’NP'PAMNOxy此处P’为折点,作点N关于OP’对称点N’,化AM+MP’+P’N为AM+MP’+P’N’P'N'yxONMAP当A、M、P、’N’共线且AN’⊥ON’时,值最小.MP'AOxyN'15最值系列之——将军饮马(二)【将军过桥】已知将军在图中点A处,现要过河去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短?河B军营A将军NM考虑MN长度恒定,只要求AM+NB最小值即可.问题在于AM、NB彼此分离,所以首先通过平移,使AM与NB连在一起,将AM向下平移使得M、N重合,此时A点落在A’位置.A'河B军营A将军NM问题化为求A’N+NB最小值,显然,当共线时,值最小,并得出桥应建的位置.A'河B军营A将军NM【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】16【将军过两个桥】已知将军在图中点A处,现要过两条河去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短?军营将军河河QABMNP考虑PQ、MN均为定值,所以路程最短等价于AP+QM+NB最小,对于这彼此分离的三段,可以通过平移使其连接到一起.B'A'QABMNPAP平移至A’Q,NB平移至MB’,化AP+QM+NB为A’Q+QM+MB’.PNMBAQA'B'当A’、Q、M、B’共线时,A’Q+QM+MB’取到最小值,再依次确定P、N位置.17【将军遛马】如图,将军在A点处,现在将军要带马去河边喝水,并沿着河岸走一段路,再返回军营,问怎么走路程最短?【问题简化】已知A、B两点,MN长度为定值,求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小?MN将军A军营B河【分析】考虑MN为定值,故只要AM+BN值最小即可.将AM平移使M、N重合,AM=A’N,将AM+BN转化为A’N+NB.A'BANM构造点A关于MN的对称点A’’,连接A’’B,可依次确定N、M位置,可得路线.A''MNABA'【例题】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点B在原点,点A、C在坐标轴上,点D的坐标为(6,4),E为CD的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,则点P的坐示应为______________.EyxB()QACDOP18【分析】考虑PQ、AE为定值,故只要AP