九连环中的数学

石嘴山市第三中学高二年级七班郭婉婷九连环中的数学2课题：探索九连环中的数学规律研究人：郭婉婷研究方法：通过网络和书籍查找相关资料，收集，整理，得出结论研究时间：2011年9月1日研究过程：1.提出问题2.做出假设3.查找资料4.验证假设5.概括整理6.得出结论研究成果：九连环中蕴含着深刻的数学思想，与数学中的二进制，N次方，数列等知识具有紧密联系。总结体会：研究性学习让我明白了探讨问题的基本方法，即提出问题、做出假设、解决问题、得出结论。从研究学习的过程中既能够锻炼能力，增长知识，最重要的是获得探索的乐趣，使我明白了重点不在于结果而在于过程。3九连环中的数学——探索九连环中的数学规律石嘴山市第三中学高二年级七班郭婉婷【摘要】九连环是我国的一种传统智力玩具，历史悠久，流传广泛，征服了古今中外无数爱好者，是中国传统文化中的一颗璀璨明珠。而本文主要探索九连环中的数学规律。【关键词】九连环；数学；规律；九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性。九连环能既练脑又练手，对于开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处。同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜。九连环的发展历史九连环历史非常悠久，据说发明于战国时代。它是人类所发明的最奥妙的玩具之一。宋朝以后，九连环开始广为流传。在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。很多著名文学作品都提到过九连环，《红楼梦》中就有林黛玉巧解九连环的记载。在国外，数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连环。后来，数学家华利斯对九连环做了精辟的分析。格罗斯也深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。九连环主要由九个圆环及框架组成。每一个圆环上都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用板或圆环相对固定住。圆环在框架上可以解下或套上。玩九连环就是要把这九个圆环全部从框架解下或套上。九连环的玩法比较复杂，无论解下还是套上，都要遵循一定的规则。19世纪的格罗斯经过运算，证明共需要三百四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。1975年国外出了一本关于离散数学的书，其中收录了这样一个数列：1,2,5,10,21,42,85,170,341……这就是九连环的数列。实际上，解下或套上n连环所需步数可用CM公式算出：f(n)=[2^(n1)-0.5*(-1)^n-1.5]/3。九连环的确环环相扣，趣味无穷。在第一次玩时，需要分析与综合相结合，不断进行思考和推理。复杂的玩法需要耐心和在困难面前不急躁的作风，切不可心浮气躁，使用暴力。玩九连环的次数多了，就会越来越熟练，也会对玩法有更加深刻的理解，能更好地体会其中的内在思想。九连环的特点九连环是我国的一种传统智力玩具，历史悠久，流传广泛，征服了古今中外无数爱好者，是中国传统文化中的一颗璀璨明珠，与七巧板、华容道并称为我国古代三大智力玩具。九连环在其上千年的发展中，产生了许许多多的变种，形成了一大类——连环类玩具。4我国研究和收藏连环类玩具的专家周伟中先生指出，连环类玩具的种类至少在1000种以上，他本人收藏的就达600余种。连环类玩具有三大特点：一是挑战性。任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。二是规律性。智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。三是趣味性。伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。由于这三大特点，连环类玩具具有良好的教育功能，首先是开发智力，这一点很明显，无庸赘述。其次，也许更重要的是非智力因素的培养。解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，也需6分钟一8分钟(目前世界记录是1分54秒)。一般人就可能需要加倍的时间了。这对于培养信心、耐心、细心、恒心都是很有功效的，对于儿童来说尤其重要。本文综合已经得到的研究成果，看看九连环中的数学问题，希望能够提高各位玩家的兴趣。九连环的解法顾名思义，九连环有9个环，环环相连。这九个环套在一个剑形的环柄上，从最左边起，依次叫1号环、2号环、…、9号环。环柄的把叫柄把，形似剑叶的部分叫柄钗。环可以从柄钗这一端套上或取下，但不能从柄把这一端套上或取下。每一个环都连有一根环杆，1号环的环杆穿过2号环，2号环的环杆穿过3号环，…，8号环的环杆穿过9号环。环杆的另一端都穿过一块底板。这样环通过杆连在一起，杆又通过底板连在一起，形成一个叠错扣连的封闭体系。九连环的奥妙就来自它的这种结构。解九连环首先要掌握以下两种基本操作。1.单环和双环上、下法单环上、下法就是把1号环装上或取下的方法。上环时首先将环转90°，自下而上从环柄的两根杆中穿过；然后将环再转90°，向左移过环柄的左端，套到环柄上。下环的过程是上环的逆过程。双环的上、下法与单环相同，只是需同时拿住两个环操作(只适用于1、2号两个环)。52.3号环的上、下法大于2号的环，其上、下法都相同，这里我们以3号环作代表来说明。上环时，2号环必须在柄上。1号环必须在柄下。操作方法是，先将在柄上的2号环左移，退出环柄，推到柄钗的上方；再按照单环的上法将3号环套人柄钗；最后将2号环下降，套入柄钗复位。下环时，首先也用同样的操作将2号环“浮”到柄钗的上方；然后下3号环，其路线与上的路线恰好相反；最后要用同样的操作将2号环复位。根据九连环的结构，我们来分析一下每一环套上柄钗和从柄钗上取下的情况。对于1号环，由于没有别的环的环杆约束它，所以它可以自由上、下。对于2号环，由于1号环的环杆从其中穿过，把它与l号环连起来，所以它可以随1号环一起上下；如果要单独下，那么l号环必须在柄上，否则的话，由于1号环在柄下，它的环杆已在柄外，而这根环杆是穿过2号环的，它就会阻止2号环在左移过柄钗后返回，重新从两根横杆中间落下，这样2号环就无法下环。2号环的上环与下环却有所不同，这时1号环在柄上、柄下均可。在柄上时，上法相同；在柄下时，由于其环杆穿过2号环，在2号环上时，会连带着把l号环也带到柄钗上方“浮”着，解决的方法是只要把它向左推过柄钗的左端即可。对于3号环的下，可以发现，若1、2号环都在柄上，则1号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗；若l、2号环都在柄下，则2号环的环杆将阻止3号环在左移过柄钗后从两根横杆之间落下，所以都无法实现下环。当且仅当1号环在柄下、2号环在柄上时，3号环才能取下。3.其他各环的情况以下依此类推，4号环、5号环、……的上下，都与3号环类似，当且仅当它前面相邻的环在柄上，再前面的所有环都在柄下时，这个环才能上下。因此，要取下9号环，8号环必须在柄上，1—7号环必须在柄下；要取下8号环，7号环必须在柄上，1—6号环必须在柄下；……由此可知，解九连环时，第一步应取下1号环，而不可将1、2号环同时取下，否则就无法取下3号环，而在不影响3号环上下的情况下，1、2号环可同时上下，以便加快速度。从上面的分析可知，九连环的9个环中，1号环可自由上、下，1、2号环可以同时自由上、下；2号环可以自由上，但只有1号环在柄上时才能下；其他的环都只能在严格的条件限制下单独上、下。这就是解九连环的规则，按照这一规则就可顺利地解九连环。九连环与二进制二进制数是九连环中蕴藏的最惊人的数学理念。1号环可以随意穿进穿出，这就相当于二进制中的0和1。事实上，9个环中，只有1号环能够随意进出，其他的环都必须在满足一定条件的情况下，才能被取下和套上。如果要取下3号环，则1、2号环必须安装上；如果要取下4号环，则1-3号环必须安装好。同理，如果要取下N号环，则1-（N-1）号环必须安装好才可以实现。同样的，如果想取下第N个环，必须保留N-1环的情况下，将其余的1-（N-2）号环清零，这种思路，就是二进制的思路。前面所有位数全满的情况下，才能向最高位进位。现在，我们分析一下解九连环的完全解法。由于每次只动一个环，故两步只有一个数字不同。为简单起见，我们先以五个环为例分6析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环，如11000就表示第一环第二环在上面。第二列是把这个表示次序反转后得到的五位数，可以看成二进制数。第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。环的状态顺序序数反转步数十进制步数二进制0000000000000000100000000110000111000000112000100100000010300011011000011040010011100001115001011010000101600110001000010070011100110011008010001011001101901001111100111110010100111001110110101101010010101201100110100101113011011001001001140111000010010001501111000111100016100001001111001171000111011110111810010010111101019100110111111110201010011111111112110101由上表可以看出，二进制数从00000到11111相当于十进制的32，而九连环的变化只有21步！并非严格按照二进制来的，更无法将环的状态序数码和步数挂钩。我们发现，右边一列数恰好是0到21的二进制数的Grey码！格雷码（英文：GrayCode,GreyCode，又称作葛莱码，二进制循环码）是1880年由法国工程师Jean-Maurice-EmlleBaudot发明的一种编码，因FrankGray于1953年申请专利“PulseCodeCommunication”得名。当初是为了机械应用，后来在电报上取得了巨大发展，现在则常用于模拟－数字转换和转角－数字转换中。典型格雷码是一种具有反射特性和循环特性的单步自补码，它的循环、单步特性消除了随机取数时出现重大误差的可能，它的反射、自补特性使得求反非常方便。格雷码属于可靠性编码，是一种错误最小化的编码，因为它大大地减少了由一个状态到下一个状态时电路中的混淆。由于这种编码相邻的两个码组之间总是只有一位不同，因而在用于模－数转换中，当模拟量发生微小变化而可能引起数字量发生变化时，格雷码仅改变一位，这样与其它码同时改变两位或多位的情况相比更为可靠，即可减少出错的可能性．这就允许代码电路能以较少的错误在较高的速度下工作。而普通二进制编码则有可能存在同时7变化多位的情况，如从1110变成1000就要求四位码同时变化，因而也变得非常不可靠，在模数电路中很少采用。如何才能从二进制数转换为格雷码呢？将一个二进制数，从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变。二进制数11011的格雷码是10110。由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变（0变为1，1变为0）。如格雷码10101表示为二进制数是11001。根据以上规律，我们将5位二进制数依次写完，并将第二列数字用二进制数的格雷码来表示，同时将序号反转，求得第一列，也就是五个环的排列状态，如下表：10111111012210110001111110023101110010110100241100010101101012511001111011011126110100110110110271101101001100102811100110011001129111011000110001301111000001100003111111我们很惊奇的发现