代数拓扑学在绳子谜题、魔术和巧环中的应用

代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用deducemathEmail:[e-mail]北京ŒÆêÆ科ÆÆ2012c1021Fdeducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F1/338录1挂画谜题2双锁谜题3太极环无)证明4Quattropuzzle5JohnH.Conway的绳舞6ë文献deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F2/331挂画谜题2双锁谜题3太极环无)证明4Quattropuzzle5JohnH.Conway的绳舞6ë文献deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F3/33始谜题墙þ有两个钉子,按ì通常的方法将画挂þ,X图所示,当一个钉子掉下来时,画还会挂3另一个钉子þ.问题:X何将画挂起来,使得拔掉其中?何一个钉子,画Ò会掉下来?(ë见[3,4])deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F3/33答案顺时针缠7第一个钉子一周记作a,_时针缠7第一个钉子一周记作a−1.顺时针缠7第二个钉子一周记作b,_时针缠7第二个钉子一周记作b−1.þ图对应缠7方式aba−1b−1.拔掉第一个钉子即是将a与a−1从aba−1b−1中掉,从而对应缠7:bb−1=e(无缠7).同理,拔掉第二个钉子画也掉下来.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F4/33Borromeanrings将钉子C为环,K两环与绳形成Borromeanrings:n环相套,破坏其中?意一环K余下的两环分离.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F5/33推广始谜题Œ以推广为n个钉子的情形.利用迭代很N易构E缠7方式.例X,en=3,令AL示2钉缠7方式:aba−1b−1,K3钉缠7方式Œ为:AcA−1c−1=aba−1b−1cbab−1a−1c−1.n钉情形Œ类似构E.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F6/33Brunnian4-linkdeducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F7/33推广Figure:abca−1b−1c−1拔掉?意一个钉子画Ø掉,拔掉?意两个钉子画掉下来.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F8/33一般情形对n个钉子赋予Ù尔C量xi,1≤i≤n:xi:=(1拔掉第i个钉子,0留第i个钉子.一般情形的挂画谜题即是将?意给定的单OÙ尔函数f(x1,x2,...,xn):=(1画掉,0画Ø掉.用绳子的,种缠7方式实现.实现方法ë见[4].Example1.1f(x1,x2)=x1∨x2↔aba−1b−1;f(x1,x2,x3)=x1∨x2∨x3↔aba−1b−1cbab−1a−1c−1;f(x1,x2,x3)=(x1∧x2)∨(x2∧x3)∨(x1∧x3)↔abca−1b−1c−1.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F9/33类似谜题:互锁多形类似于挂画谜题,?意给定的单OÙ尔函数也Œ以用互锁多形(interlockedpolygons)实现,ë见[18].Figure:f(x1,x2,x3)=((x1∧x2)∨x3)∧(x1∨x3),见[18]Figure8.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F10/331挂画谜题2双锁谜题3太极环无)证明4Quattropuzzle5JohnH.Conway的绳舞6ë文献deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F11/33始谜题“两把锁好的挂锁,做一个绳把它们套住,X图,给观众,请他们试着把绳下来.(当,Ø许割断绳,也Ø许m锁.,后,Ø动绳,把两把锁互相ž起来.ù时绳Ø,Œ以下了!试)释ù个现象.”(ë见[1,2])deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F11/33始谜题链环基+(fundamentalgroup):{a,b|−};绳子对应素:aba−1b−1.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F12/33始谜题链环基+:{a,b|ab=ba};绳子对应素:aba−1b−1=baa−1b−1=e(单位).利用基+,使用迭代法N易构En锁谜题.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F13/33锁的替代物Figure:FourCanoes(Ferguson,H.)将锁替换为图中带的环(绳子或铁链ØU穿过狭缝),Kö作更为方B.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F14/33锁的替代物Figure:CastQuartet(Hanayama)deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F15/33推广:4锁右图链环基+:{a,b,c,d|ab=ba,bc=cb,cd=dc};绳子对应素:aba−1cb−1dc−1d−1=bcb−1dc−1d−1=cdc−1d−1=e.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F16/33推广:5锁deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F17/331挂画谜题2双锁谜题3太极环无)证明4Quattropuzzle5JohnH.Conway的绳舞6ë文献deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F18/33太极环StewartCoffin1974c发明太极环(S8字环[5],FigureEightPuzzle[6]),由于种种因此环成为无)巧环的典范[6].,而迟至2003câ出现第一个正式发L的无)证明[7,8,9].下面用琼斯多项式(JonesPolynomial,一种Ý((knot)ØC量)给出一个简'的证明.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F18/33太极环N易知道e左þ图巧环无)K太极环无),分O计算(使用^件KNOT[10]非常方B)þ面两图中链环的琼斯多项式得到：它们的琼斯多项式Ø等,故太极环无).deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F19/33ddk巧环类似Œ证明ddk(方吧“巧环巧ž”论坛版主)设计的一±巧环[11]无).deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F20/331挂画谜题2双锁谜题3太极环无)证明4Quattropuzzle5JohnH.Conway的绳舞6ë文献deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F21/33Quattro虽,一般而言代数拓扑学ØU给出巧环的ä体)法,但对,些巧环的)法有启发式的指引作用.Horak3[12]中以Quattro为例用Ý(的nÚ性(tricolorability,一种Ý(ØC量)证明了,种求)方式،行.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F21/33Quattro要将Quattro的四个7分离,,绳7须环7与之相套的7.用反证法.e非X此,KX左图所示,3虚线SҌ以将套3一起的绳)m.由此推出中图Ý(与平凡Ý(同痕(isotopic).,而X右图所示,此Ý(ä有nÚ性,但平凡Ý(没有ù种性质,矛盾.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F22/33Ö充:)法方吧“巧环巧ž”论坛版主忧天杞注意到Quattro类谜题的逻辑(构与²典巧环Ê连环关系密切[19].例X,Quattro=n连环+二连环+一连环,þ图为n连环示意图.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F23/331挂画谜题2双锁谜题3太极环无)证明4Quattropuzzle5JohnH.Conway的绳舞6ë文献deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F24/33Conway的绳舞X图,准两根绳子,四舞ö各执绳子一端,令tL示绳子的缠7方式对应的有理数,t=0为初始状态.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F24/33基舞Ú(基C换)两种基舞Ú(或称为对绳子的两种基C换):Û转(Twist),旋转(Turn).3两种C换下绳子缠7方式对应的有理数做相应C化.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F25/33Figure:“Tangles,BanglesandKnots”[16]视频图deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F26/33X何回到初始状态当四按基舞Ú跳一段时间之后,绳子一般会Å缠成一团,例XC成þ图的样子.X何按基舞Ú跳舞,将绳子C为初始状态?利用Conway的有理缠7(RationalTangles)理论[13,14,15,16],只需将t按基C换C为0即Œ,当,,绳子随之做相应C换.例X,þ图的缠7Œ按以下序列做C换:1310,−1013,313,−133,−103,−73,−43,−13,23,−32,−12,12,−2,−1,0.deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F27/33Ö充:根â绳图直计算t值Figure:t=[−4,2,−2,2]=2+1−2+12+1−4=1310将绳图转换为I准形式后对应唯一的连分数L示,ë见[17,15].deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F28/331挂画谜题2双锁谜题3太极环无)证明4Quattropuzzle5JohnH.Conway的绳舞6ë文献deducemath(®大学)代数拓扑学3绳子谜题、术和巧环中的应用2012c1021F29/33ë文献I[1]姜ËÙ.绳的数学.大连理工大学出版社,P48,2012[2]Rolfsen,D.KnotsandLinks.AMSChelsea,P66,1976[3]Winkler,P.令\£思冥想的数学题.兰光强,孙立+,译.民邮电出版社,P14–15,21–22,2009[4]Demaine,E.D.,Demaine,M.L.,Minsky,Y.N.,Mitchell,J.S.B.,Rivest,R.L.,Patrascu,M.Picture-HangingPuzzles.FUN2012,LNCS7288,pp.81–93,2012.[5]周伟中.巧)Ê连环.7盾出版社,P78,2003[6]Coffin,S.TheOdysseyoftheFigureEightPuzzle.TheMathemagicianandPiedPuzzler,ACollectioninTributetoMartinGardner,A.K.PetersLTD,Natick,127–129,1999deducemath(®大学)代数拓扑学